Скорость и ускорение точки
Механическим движением называют изменение с течением времени положения в пространстве точек и тел относительно какого-либо основного тела, с которым скреплена система отсчета. Кинематика изучает механическое движение точек и тел независимо от сил, вызывающих эти движения. Всякое движение, как и покой, относительно и зависит от выбора системы отсчета.
Траекторией точки называют непрерывную линию, описывае мую движущейся точкой. Если траектория - прямая линия, то движение точки называют прямолинейным, а если - кривая, то - криволинейным. Если траектория - плоская, то движение точки называют плоским.
Движение точки или тела, считается заданным или известным, если для каждого момента времени (t) можно указать положение точки или тела относительно выбранной системы координат.
Положение точки в пространстве определяется заданием:
а) траектории точки;
б) начала О1 отсчета расстояния по траектории (Рисунок 11): s = О1М - криволинейная координата точки М;
в) направления положи тельного отсчета расстояний s;
г) уравнения или закона движения точки по траектории: S = s(t)
Рис 11.
Скорость точки. Если точка за равные промежутки времени проходит равные отрезки пути, то ее движение называют равномерным. Скорость равномерного движения измеряется отношением пути з, пройденного точкой за некоторый промежуток времени, к величине этого промежутка времени: v = s/1. Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то ее движение называют неравномерным. Скорость в этом случае также переменна и является функцией времени: v = v(t). Рассмотрим точку А, которая перемещается по заданной траектории по некоторому закону s = s(t) (Рисунок 12):
Рис 12.
За промежуток времени t т. А переместилась в положение А1 по дуге АА. Если промежуток времени Δt мал, то дугу АА1 можно заменить хордой и найти в первом приближении величину средней скорости движения точки vcp = Ds/Dt. Средняя скорость направлена по хорде от т. А к т. А1.
Истинная скорость точки направлена по касательной к траектории, а ее алгебраическая величина определяется первой производной пути по времени:
v = limΔs/Δt = ds/dt
Размерность скорости точки: (v) = длима/время, например, м/с. Если точка движется в сторону увеличения криволинейной координаты s, то ds > 0, и следовательно, v > 0, а в противном случае ds < 0 и v < 0.
Ускорение точки. Изменение скорости в единицу времени определяется ускорением. Рассмотрим движение точки А по криволинейной траектории за время Δt из положения A в положение A1. В положении A точка имела скорость v , а в положении A1 - скорость v1 (Рисунок 13). т.е. скорость точки изменилась по величине и направлению. Геометрическую разность, скоростей Δv найдем, построив из точки A вектор v1.
Рис 13.
Ускорением точки называют вектора ", равный первой производной от вектора скорости точки по времени:
Найденный вектор ускорения а может быть разложен на две взаимно-перпендикулярные составляющие но касательной и нормали к траектории движения . Касательное ускорение а1 совпадает по направлению со скоростью при ускоренном движении или противоположно ей при замененном движении. Оно характеризует изменение величи-ны скорости и равно производной от величины скорости по времени
Вектор нормального ускорения а направлен по нормали (перпендикуляру ) к кривой в сторону вогнутости траектории, а модуль его равен отношению квадрата величины скорости точки к радиусу кривизны траектории в рассматриваемой точке.
Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по
направлению.
Величина полного ускорения: , м/с2
Виды движения точки в зависимости от ускорения.
Равномерное прямолинейное движение (движение по инерции) характеризуется тем, что скорость движения постоянна, а радиус кривизны траектории равен бесконечности.
То есть, r = ¥, v = const, тогда ; и поэтому . Итак, при движении точки по инерции ее ускорение равно нулю.
Прямолинейное неравномерное движение. Радиус кривизны траектории r = ¥, аn = 0, поэтому и а = аt и а = аt = dv/dt.
Криволинейное равномерное движение. Поскольку v = const, то аt = dv/dt = 0; = v2/p
Движение точки, при котором величина касательного ускорения постоянна (аt = соnst) называют равнопеременным. Величину ускорения можно также определить через значение скорости в начале и в конце произвольного промежутка времени t: at = (v – v0)/t, откуда v = v0 + at·t. Путь, пройденный точкой при равнопеременном движении, определится по уравнению:
Примером равномерно-ускоренного движения может служить свободное падение тела, при этом ускорение свободного падения тел вблизи поверхности Земли составляет в среднем g = 9,81 м/с2.
Дата добавления: 2015-08-08; просмотров: 8186;