Связь между линейными и угловыми величинами

Найдем скорость произвольной точки A твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси OO’ с угловой скоростью . Пусть положение точки A относительно некоторой точки O оси вращения характеризуется радиус-вектором (рис.1.2.3). Воспользуемся формулой (1.2.1), поделив ее на соответствующий промежуток времени dt. Так как d /dt = и d /dt = , то

Рис.1.2.3.

, (1.2.7)

т. е. скорость у любой точки A твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси с угловой скоростью , равна векторному произведению на радиус-вектор точки A относительно произвольной точки O оси вращения (рис.1.2.3).

Модуль вектора скорости υ = ωrsin , или υ = ωρ,

где ρ — радиус окружности, по которой движется точка A.

Продифференцировав (1.2. 7) по времени, найдем полное ускорение точки A: = [d /dt, ] + [ ,d /dt], или

(1.2.8)

В данном случае (ось вращения неподвижна) || , поэтому вектор [ ] представляет собой тангенциальное ускорение _τ. Вектор же [ [ ]] — это нормальное ускорение _n. Проекции вектора на орты τ и n равны:

a_τ = β_z ρ, a_n = ω² ρ.

Отсюда модуль полного ускорения