Возникновение понятия натурального числа

Теоретические основы формирования элементарных математиче­ских представлений у дошкольников включают детальное изуче­ние лишь системы натуральных чисел. Поэтому, говоря здесь «чис­ла», мы имеем в виду натуральные числа.

К построению математических моделей явлений, основанному на отвлечений от всех свойств предметов, кроме их количествен­ных отношений и пространственных форм, человечество прибегало с первых шагов изучения окружающего мира. Одним из первых достижений на этом пути было возникновение и формирование по­нятия натурального числа. Оно появилось, по-видимому, на довольно .позднем этапе развития мышления, поскольку предпо­лагает уже способность к созданию и оперированию абстрактными понятиями.

В процессе практической деятельности люди пришли к абстраги­рованию такого общего свойства конечных множеств, каким является их численность. Чтобы усмотреть нечто общее между мно­жеством, состоящим из шести рыб, и множеством, состоящим из шести звезд, нужна уже высокая степень умения абстрагироваться от второстепенного, умение выделять главное. Этнографы нашли племена, в языках которых существует много видов числительных: числительные для множеств живых существ отличаются от числи­тельных для множеств плодов, орудий охоты и т. д. Однако на ранней стадии развития люди еще не могли достигать в рассужде­ниях достаточной степени общности и уровень абстрагирования еще не позволял формулировать общие свойства предметов, каким яв­ляется натуральное число, и тем более вводить для его обозначения специальные символы.

Процесс формирования понятия числа- был сложным и длитель­ным. На самом раннем этапе устанавливалась равночисленность различных множеств, общее же свойство равночисленных множеств еще не отделялось от конкретной природы сравниваемых мно­жеств. Например, знали, что два рыболова поймали поровну рыб, но не выражали этого каким-либо числом. В дальнейшем практика экономических и социальных взаимоотношений привела к необходи­мости выражать численность одних множеств уже через числен­ность других множеств, т. е. общее свойство равночисленное™ стало осознаваться как нечто отличное от конкретной природы са­мого множества, его элементов. Однако в качестве эталонов вы­ступают еще различные множества, состоящие из подручных пред­метов — эквивалентов равночисленности множеств предметов. Еще позже определенное множество, например пальцы на руках и ногах, начинают выступать в качестве своеобразного единствен­ного эталона количества, что позволило выделить общее свойство численности, отличное от всех особенных свойств множеств. Впослед­ствии общее свойство всех равночисленных множеств абстрагируется от самих множеств и выступает в «чистом виде», т. е. как абстракт­ное понятие натурального числа. Далее в качестве эталона числен­ности уже выступают сами натуральные числа, когда люди го­ворят не «рука яблок», а «пять яблок» (интересно, что в слове «пять» сохранилось воспоминание о «пясти» т. е. о ладони). И на­конец, происходит отвлечение от реально существующих ограни­чений счета и возникает понятие о сколь угодно больших числах, о больших натуральных числах. Возникает абстракция бесконеч­ного множества натуральных чисел. Объектом научного анализа становятся свойства элементор самого этого множества, в отвлече­нии от тех предметов, счет которых привел к созданию понятия числа. Возникает теория, описывающая систему чисел с ее свой­ствами и закономерностями.

Понятие числа, возникшее как математическая модель исчис­ления предметов, само становится основой для построения новых математических моделей. Хотя свойства чисел раскрываются в от­ношениях одних чисел к другим, но не в отношениях этих чисел к реальному миру, каждое свойство натуральных чисел допускает конкретную реализацию в виде свойства совокупностей реальных объектов. Это связано с тем, что свойства и отношения в множестве натуральных чисел являются отвлеченными образами свойств и отношений множеств, состоящих из конкретных предметов.

Как будет показано дальше (глава XI), процесс формирования представлений дошкольников о числе в известном смысле в общих чертах повторяет основные этапы исторического развития этого понятия.

В математике известны различные способы построения теории натуральных чисел. Мы' рассмотрим лишь основные идеи двух тео­рий натуральных чисел, количественной и порядковой, находящие отражение в формировании представлений о числе, счете и ариф­метических операциях.