Отношение эквивалентности

Выделим теперь класс отношений, играющих особую роль в раз­биении множеств предметов на классы, т. е. в классификации множеств.

Среди рассмотренных выше примеров отношений имеются такие, которые являются рефлексивными, симметричными и транзитивными одновременно. К ним относятся отношения равенства чисел и гео­метрических фигур, подобия фигур, «быть ровесником».

Эти и другие подобные им, т. е. обладающие такими же свой­ствами, отношения принадлежат важному классу отношений экви­валентности, находящих широкое применение и использование, в том числе в курсе математики общеобразовательной школы.

Всякое рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение, установленное в некотором множестве А, называется отношением эквивалентности.

Если между элементами некоторого множества введено или уста­новлено отношение эквивалентности, то этим самым порождается разбиение данного множества на классы таким образом, что лю­бые два элемента, принадлежащие одному классу разбиения, на­ходятся в данном отношении (иначе: эквивалентны по этому от­ношению), любые же два элемента, принадлежащие различным классам, не находятся в этом отношении (иначе: не эквивалентны по этому отношению). Такое разбиение множества на классы обычно называют разбиением множества на классы экви­валентности.

Разбиение множества блоков (или фигур) на классы эквивалент­ности можно смоделировать с помощью следующей игры с тремя обручами.

В множестве всех блоков введем отношение «иметь один цвет» (или «быть одного цвета»). Нетрудно убедиться в том, что это отношение является отношением эквивалентности, т. е. рефлек­сивным, симметричным и тран­зитивным. Этому соответствует задание: «Расположите блоки так, чтобы все блоки одного цвета оказались вместе». На­пример, имея три обруча: крас­ный, синий и желтый (рис. 8), можно потребовать, чтобы все красные блоки были располо­жены внутри красного обруча, всё синие — внутри синего, а все желтые — внутри желтого.

Решение этой задачи в про­цессе игры приводит к разбие­нию множества всех блоков на

классы эквивалентности по отношению «быть одного цвета» (области (1), (2), (3), (4) оказываются пустыми, так как нет трехцветного или двухцветного блока, область (8) пуста, так как блоков другого цвета, кроме красного, синего или желтого, нет). Нетрудно убедиться в том, что удовлетворяются условия 1) —3) правильного разбиения (глава III, § 6): 1) ни один из классов (красных, синих, желтых) блоков не пуст;.2) эти классы попарно не пересекаются и 3) их объединение равно множеству М всех блоков.

Таким же путем, т. е. с помощью отношения «быть одного цвета», формируется и само представление о цвете как о классе, объединяющем все предметы одного цвета, скажем, все красные предметы.

Аналогично формируется и представление об определенной форме предметов. С помощью отношения «иметь одну форму» мы получаем разбиение всех блоков (или фигур) на четыре класса эквивалент­ности такое, что любые два блока (или две фигуры), принадле­жащие одному классу, обладают одной и той же формой, любые же два блока (или две фигуры) различных классов обладают различной формой. Сама форма выступает здесь как класс эквивалент­ности. Так, впоследствии, например, формируются представления о круге, квадрате, треугольнике, прямоугольнике и других геометри­ческих фигурах как на плоскости, так и в пространстве.

Эти примеры показывают, с одной стороны, что отношения экви­валентности являются базой для формирования новых понятий и для классифицирующей деятельности, с другой стороны, что рас­смотренные выше (глава III) дидактические игры с обручами обу­чают этой деятельности.