Декартово произведение множеств

В работе с детьми часто возникает необходимость образовывать пары: строить детей парами для перехода улицы, составлять пары из кукол и игрушек, строить слоги из пар букв и т. п.

Под парой будем понимать упорядоченную пару элементов, т. е. два элемента, расположенных в определенном поряд­ке. Элемент, занимающий первое место, называется первым эле­ментом пары, элемент, занимающий второе место,— вторым эле­ментом пары. Для обозначения пары применяют обычно круглые скобки. Символ (а, Ь) обозначает пару с первым элементом а и вторым элементом Ь.

Две пары считаются равными (совпадающими), если их соот­ветствующие элементы равны, т. е. (а\, Ь\)=-{ач, b-i) тогда и только тогда, когда а\=а% и b\-=b%.

Элементы пары могут оказаться равными, т. е. допускаются пары типа (а, а).

Если афЬ, то, исходя из определения равенства пар, полу­чаем (а, Ь)Ф{Ь, а), т. е. две пары, отличающиеся только поряд­ком элементов, различны (в то время как для двухэлементных множеств имеем {a, b)—{b, а}).

Если рассматривать пары чисел (х, у), то каждой такой паре соответствует точно одна (одна и только одна) точка плоскости при заданной системе координат — точка с координа­тами х и у. Если при этом хфу, то {х, у) и {у, х) — различные точки (рис. 5).

Рассмотрим таблицы I и II «открытых» и «закрытых» сло­гов. По существу мы имеем здесь два множества букв: мно­жество согласных С={м, н, п, р} и множество гласных Г={а, е, о, у}.

Таблица I Таблица II

I

В таблице I выписаны всевозможные пары, первые элементы которых принадлежат множеству С, а вторые — множеству Г. В таблице II выписаны всевозможные пары, первые элементы которых принадлежат множеству Г, а вторые — множеству С.

В первом случае множество пар называется декартовым произведением множества С на множество Г (СХГ), во втором — декартовым произведением множества Г на множество

С(ГХС).

Дадим теперь общее определение декартового произведения двух

множеств: декартовым¹ (По имени французского философа и математика Рене Декарта (1596-1650).произведением АхВ множества А на мно­жество В называется множество всевозможных пар, первые эле­менты которых принадлежат А, а вторые — В, т. е. АхВ={(х у)\х£А и у£В).