Основные идеи порядковой теории натуральных чисел

В конце XIX в. была построена порядковая теория натураль­ных чисел, которая обычно связывается с именем итальянского математика Джузеппе Пеано (1858—1932), построившего эту теорию на аксиоматической основе.

Весьма развитый в математике аксиоматический подход к построению теорий состоит в следующем: а) выделяются некоторые исходные, неопределяемые через другие понятия; все остальные понятия теории определяются через ранее уже определенные; б) выделяются некоторые исходные предложения или аксиомы, ис­тинность которых принимается без доказательства; все остальные предложения теории — теоремы — логически выводятся или доказы­ваются с использованием введенных понятий, ранее доказанных

фактов, теорем.

Отметим, что аксиоматический подход применяется для построе­ния теории, о которой уже имеются определенные, сформиро­ванные интуитивные представления. Иначе говоря, осуществляется аксиоматизация уже имеющейся «предматематической теории».

Подход к построению теории натуральных чисел, берущий на­чало от Пеано, представляет собой определенный способ матема­тизации интуитивного представления о натуральном ряде.

Математизация этого интуитивного понятия приводит к опреде­лению натурального ряда как некоторой структуры

состоящей из: а) множества N, элементы которого называются натуральными числами, б) выделенного в этом множестве элемента, обозначаемого знаком 1 и называемого единицей, и в) опреде­ленного в множестве N отношения «непосредственно следует за» (число, непосредственно следующее за числом х, обозначим через х', т. е. если у непосредственно следует за х, то у = х'; х' — «сосед справа» для х).

Натуральный ряд обладает следующими интуитивно ясными свойствами (принятыми Пеано в качестве аксиом, характеризующих

эту структуру):

I. Единица непосредственно не следует ни за каким натураль­ным числом, т. е. не является «правым соседом» никакого другогонатурального числа, это «первое» натуральное число.

II. Для любого натурального числа существует одно и только одно непосредственно следующее за ним натуральное число, т. е.любое натуральное число имеет только одного «правого соседа».

III. Любое натуральное число непосредственно следует не болеечем за одним натуральным числом, т. е. единица не следует ни закаким, всякое другое натуральное число — точно за одним.

Всякое натуральное число, кроме единицы, является «пра­вым соседом» одного и только одного натурального числа, его «левого соседа».

IV. Если какое-нибудь множество М натуральных чисел (M^N)содержит 1 и вместе с некоторым натуральным числом х содержити натуральное число х', непосредственно следующее за х, то это
множество совпадает с множеством всех натуральных чисел (M=N)

(Предложение IV, хотя по своему содержанию более сложно, чем первые три, также выражает достаточно простое свойство: с помощью последовательного прибавления единицы, начиная с еди­ницы, можно получить все натуральные числа. Всякий раз, когда доходим до некоторого числа х, допускается возможность на­писания непосредственно следующего за ним числа х'.

Натуральный ряд в описанном представлении мыслится п о-тенциально бесконечным. С этой точки зрения процесс его образования незавершаем, предполагается лишь, что после каждого шага процесса мы располагаем возможностью осущест­вления следующего шага.

Свойства I—IV характеризуют структуру «натуральный ряд» только с точки зрения отношения ', названного «непосредственно следует за». Но это построение можно дополнить свойствами, ха­рактеризующими операции сложения и умножения в множестве N.

Расширим теперь систему свойств I—IV таким образом, чтобы получить характеристику структуры {N, 1, ', + , •).

Знак -f- обозначает операцию «сложение», сопоставляющую с каждой парой (х, у) натуральных чисел натуральное число х + у, называемое их суммой и обладающее следующими свойствами:

V. ^г

ifc.-е. сумма любого натурального числа х с числом 1 равна непосред­ственно следующему за х числу х'. VI. * + у'=(*+у)',

'т. е. сумма любого числа х с числом у', непосредственно следующим за любым числом у, равна числу, непосредственно сле­дующему за суммой л: + у.

Знак • обозначает операцию умножения, сопоставляющую с каждой парой (jc, у) натуральных чисел натуральное число х-у, называемое их произведением и обладающее следующими двумя свойствами:

VII. х-1=х,

т. е. произведение любого натурального числа х и числа 1 рав­но числу х (умножение какого-нибудь числа на единицу не меня-

• ;ет это число).

VIII. х.(у')=(х-у) + х,

т. е. произведение числа х на число, непосредственно следующее за числом у, равно произведению чисел хну, сложенному с

числом х.

Из свойств I—VIII выводятся все остальные свойства порядка и операций сложения и умнбжения натуральных чисел.

Покажем в качестве примера, как, исходя из перечисленных свойств, можно получить таблицы сложения и умножения.

Будем исходить из знания того, что непосредственно следую­щее число за каждым однозначным числом уже получено:

1' = 2; 2' = 3; 3' = 4; 4' —5; 5' = 6; 6' = 7; 7' = 8; 8' = 9; 9' = 10.

Исходя из свойства V, получаем таблицу «прибавления еди­ницы»:

Таблица « + 1»

1+ 1 = 1' = 2;

2+1=2=3;
3+1=3' =4;

.

.

.

основную роль играет операция (функция) прибавления едицы f(х) = х+1,

сопоставляющая с каждым числом х непосредственно следую­щее за ним число л;+1 (или х'). Эта идея используется is обучении счету маленьких детей.

Свойства VII—VIII составляют рекурсивное определение умно­жения.

Интуитивно ясно, что натуральный ряд — упорядоченное мно­жество. Каждое натуральное число меньше непосредственно следую­щего за ним числа. Часто в обучении детей дается такое обосно­вание факту, что 3 яблока меньше 5 яблок- «К трем яблокам на­до еще добавить 2 яблока, чтобы получить 5 яблок». В этом ©яы-те отражена идея, заложенная в определении отношения «меньше» («О) в рамках описанной нами теории:

х<у тогда и только тогда, когда существует число к такое, что x-\-k = y.

Из этого определения следует, что х<.х' для любого х, т. е. что всякое натуральное число меньше непосредственно следующего за ним числа.

Действительно, существует такое число k = l, что х-\-1=х'.

Определенное таким образом отношение «■<» является антиреф­лексивным, асимметричным и транзитивным, т. е. отношением порядка.

Это можно доказать: а) ~\х<.х для любого x^N, так как не существует натурального числа k такого, что x-\-k=x; б) х<.у=> =$- ~\y<zx для любых х, y£N; допустим от противного, что существу­ют х, y£N такие, что х<у и у<Сх. Тогда из х<у следует, что существует число k такое, что x-\-k=y, а из у<.х — что существует шсло п такое, что у-\-п=х, откуда x-\-k-\-n = x, но такого числа (k + n) нет; в) если х<у и y<z, то x<z. Действительно, из х < у следует, что существует число k такое, что x-\-k=y; из y<Cz следует, что существует число га такое, что y-\-n = z. Следо­вательно, х ■+■ k -f- га = z. Следовательно, существует число k+га такое, что x-\-(k + n) — z, т. е. x<Zz.

Натуральный ряд упорядочен этим отношением порядка «мень­ше», т. е. для любых х, y£N, если хФу, то х<Су или у<.х.

Действительно, если хФу, то существует число k такое, что x-\-k=y или y-\-k=x и только одно из двух, так как либо х «предшествует» у в натуральном ряду, либо наоборот. В первом слу­чае х<Су, во втором у<.х.

Естественно возникает вопрос, как при таком построении теории натуральных чисел осуществляется переход к их примене­нию для обозначения числа элементов конечных множеств.

Прежде всего отметим, что при этом построении само понятие конечного множества определяется с использованием натурального числа.

Рассмотрим сначала конкретный пример.

Пусть имеется множество А={○ □ ▲⌂ ◊}. Будем счи­тать элементы этого множества в том порядке, в котором они указаны. Что же по существу делаем, когда мы считаем? Уста­навливаем взаимно однозначное соответствие между множеством А и множеством натуральных чисел М={1, 2, 3, 4, 5}.

○ □ ▲⌂ ◊

1 2 3 4 5

Последнее, самое большое, число 5 этого множества натураль­ных чисел и обозначает число элементов множества А. Мно­жество М называется отрезком натурального ряда и обозначается символом «[1; 5]», а установленное нами взаимно однозначное соответствие запишется так:

А~[1; 5].

Обобщим теперь рассмотренную конкретную ситуацию.

Отрезком натурального ряда с последним элементом п (т. е. такой, что число п принадлежит ему, а п-\-\ уже не принадле­жит ему) называется множество всех натуральных чисел от 1 до п включительно и обозначается символом «[1; и]», т. е.

[1; п]={1, 2, 3, 4

Теперь можно дать такое определение конечного множества: множество А называется конечным, если можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством А и некоторым отрез­ком натурального ряда.

Если существует взаимно однозначное соответствие

Лч-*[1; п],

то по определению число элементов множества А равно п, т. е.

ш(А) = п.

Если существует взаимно однозначное соответствие между дру­гим множеством В и тем же отрезком натурального ряда [1; п], т. е.

В*+[1; п],

или m (B) = n,

то множества А и В равночисленны, или эквивалентны, т. е.

А~В. Как видно, мы пришли совершенно иным путем к тому же поня тию эквивалентных множеств. Действительно, между множествами А и В может быть установлено взаимно однозначное соответствие

'А+Ц1; п\ ВЩГ-\ п].

Будем, например, считать соответствующими друг другу пары эле­ментов (а, Ь) такие, что а£А, Ь£В и обоим элементам (а и Ь) соот­ветствует одно и то же число k£ [I; n].

Сопоставим теперь две теории натуральных чисел — количест­венную и порядковую — с целью выяснения тех идей, которые ле­жат в основе обучения счету и формирования первых представле­ний о натуральных числах у дошкольников.

Сравнивая две теории, можно заметить, что в количествен­ной теории сложение чисел абстрагируется от объединения мно­жеств, а вычитание — от разности ■ множеств более естественно и в соответствии с интуитивными представлениями.

С другой стороны, порядковая теория с выделением отноше­ния «непосредственно следует за» отражает идею постепенного образования натурального ряда, начиная от 1, шаг за шагом, при­чем каждый шаг состоит в прибавлении 1 к уже полученному числу.

Количественная теория предполагает, что установление эквива­лентности множеств предшествует счету, порядковая, наоборот, что натуральные числа, а следовательно, и счет предшествует установлению эквивалентности множеств, что сама эта эквивалент­ность устанавливается пересчетом элементов двух множеств, т. е. установлением соответствия между элементами двух множеств и отрезками натурального ряда (если эти отрезки совпадают, то множества эквивалентны).

Возможно, что в реальных условиях обучения эти пути пере­секаются. По крайней мере неоспорим тот факт, что дети с по­мощью родителей очень рано усваивают последовательность слов-числительных

один, два, три, четыре, пять...

и их сопоставление с произвольными множествами соответствую­щей численности. Это, очевидно, оказывается более простой мыс­лительной операцией, чем непосредственное сопоставление эле­ментов двух произвольных множеств. Дети на собственном опыте убеждаются, что пересчет элементов одного и того же множества, производимый в различном порядке, приводит к одному и тому же результату, к одному и тому же слову из имеющейся последо­вательности слов. Известны, однако, психологические эксперименты, обнаружившие приоритет сопоставления двух произвольных мно­жеств, хотя нельзя ручаться, что дети еще не имели интуитивных представлений о натуральных числах.

Принятая и описанная далее (часть III) методика формиро­вания представлений о натуральных числах и обучения счету включает в себя идеи, заложенные в обеих теориях.