Измерение величин

Потребность в измерении всякого рода величин, так же как потребность в счете предметов, возникла в практической деятель­ности человека «а заре человеческой цивилизации. Так же как для определения численности множеств, люди сравнивали различ­ные множества, различные однородные величины, определяя преж­де всего, какая из сравниваемых величин больше, какая меньше. Эти сравнения еще не были измерениями. В дальнейшем процедура сравнения величин была усовершенствована. Одна какая-нибудь величина принималась за эталон, а другие величины того же рода (длины, площади, объемы, массы и т. п.) сравнивались с эталоном. Когда же люди овладели знаниями о числах и их свойствах, вели­чине-эталону приписывалось число 1 и этот эталон стал называть­ся единицей измерения. Цель измерения стала более определен­ной —оценить, сколько единиц содержится в измеряемой вели­чине. Результат измерения стал выражаться числом.

Задача измерения величин, так же как и задача определения численности множеств предметов, является источником, порождаю­щим числа. Однако в отличие от первой задачи, решение которой полностью обеспечивается натуральными числами, для задачи из­мерения величин этих чисел недостаточно. Это наглядно обнару­живается описанием процедуры измерения на простейшем примере измерения длин.

Пусть необходимо измерить длину отрезка АВ с помощью единицы измерения CD длины е (рис. 23).

Хотя мы опишем процедуру измерения длины конкретного от­резка АВ с помощью конкретной единицы измерения длины е, все действия и рассуждения, которые при этом проведем, носят общий характер и пригодны для решения любой задачи этого типа, т.. е. для измерения длины любого отрезка.

Откладываем отрезок CD от точки А последовательно на отрезке АВ, при этом возможны следующие случаи.

1. Возможно, что отрезок CD отложится на огрезке AS целое число раз. На рисунке 23, /, например, 5 раз, а вообще л раз, г; е. второй конец отрезка CD (точка D) при пятом, а в абщем случае при я-м отложении, т. е. точка А₅ {А„) совпадает с тоодаоя В концом отрезка АВ.

этом случае числовое значение длины отрезка АВ будет равняться 5, в общем случае п, так как длина равна Ъе {пе), принимая длину е единицы измерения отрезка CD равной 1. Если обозначить числовое значение длины отрезка АВ через \АВ\ (в дальнейшем для краткости вместо «числовое значение длины» будем говорить просто «длина» там, где это не приводит к не­доразумению), то в нашем примере 1АВ|=5, а в общем случае \АВ\=п. В этом случае натуральные числа обеспечивают решение

задачи измерения.

2. Возможно, что точка As (А„) не совпадает с точкой В (рис. 23,2), причем \АъВ\<.е, т. е. если отложить еще один раз отрезок CD, то конец его A₆(A<,+i) уже окажется вне отрезка АВ, иными • словами, точка В окажется между точками Л₅ и А₆ (А_п и Ап-м). При этом здесь неявно использовано свойство 7 из § 1. Тогда длина отрезка АВ уже не выражается натуральным числом, она находится «между» двумя последовательными натуральными числами 5<|АВ!<6, или в общем виде n<|AB| <п+1, между которыми, как известно, нет других натуральных чисел.

В этом случае мы можем лишь приближенно считать длину отрезка АВ равной одному из этих чисел, 5 или 6 (п или /г+1). I В результате получаем приближенное значение измеряемой длины с точностью до 1. Это означает, что, принимая одно из этих чисел за значение длины отрезка АВ, мы допускаем погрешность, меньшую 1, причем число 5 (п) — приближенное значение длины с недостат­ком, а число 6(n-f-l) — с избытком. Если точка В ближе к точке Аь {А_п), то число 5 (п) ближе к истинному (точному) значению длины отрезка АВ, если же точка В ближе к точке Ae(A_n+i). ^T0 число 6(п + 1) ближе к точному значению этой длины. В зависи­мости от этого выбирают то приближенное значение, которое ближе к точному, что дает меньшую погрешность.

Если такая степень точности удовлетворяет нас, то можно считать процесс измерения законченным. Однако практика часто предъявляет требование получить результаты измерений с более высокой степенью точности, т. е. с меньшей погрешностью.

С этой целью возникает необходимость продолжить процесс измерения, т. е. измерить длину остатка, отрезка АьВ, в общем случае А_пВ. Естественно, это нельзя сделать с помощью той же единицы измерения CD, которая не умещается на этом отрезке. Надо выбрать более мелкую единицу измерения, какую-то часть отрезка CD, допустим десятую. Тогда длина е\ этой новой единицы измерения равна 0,1е, т. е. числу 0,1 (здесь неявно применяется свойство 6 из § 1 о возможности деления величины на какое угодно

число частей).

Далее процедура измерения повторяется, но уже применительно к отрезку AsB (А_пВ) и с единицей измерения длины 0,1. Значит

опять возможны два случая:

1) Новая единица измерения уместится на отрезке А5В (A_nB) целое число раз, например 3 раза, а вообще «i раз, где П|<10, такИмеются игры, в которых детям предлагается разрезать не­которую фигуру на части и сложить из этих частей другую фигуру. В нашем примере на рисунке 24 можно разрезать квадрат по диагонали и сложить из полученных частей треугольник (рис. 24, 2).

Таким образом, если две фигуры равновелики, т. е. имеют одинаковые площади, то они равносоставленЫ (могут быть разбиты на одинаковое число равных частей), но не обязательно равны.