Системы счисления

Системой счисления называют совокупность приемов представле­ния для наименования, записи и выполнения операций над нату­ральными числами.

Вместе с появлением письменности у различных народов по­явились те или иные системы счисления.

Существующие системы счисления по своему «грамматическому строю» делятся на непозиционные и позиционные.

Непозиционная ситема счисления характеризуется тем, что каждый из совокупности знаков, принятых в данной системе для обозначения чисел, обозначает одно и то же число независимо от места, т. е. позиции, занимаемого этим знаком в записи числа. Известным примером такой системы является римская система, которая иногда применяется для нумерации элементов множества, состоящего из небольшого числа элементов, например глав книги, классов школы, призовых мест и т. д.

В этой системе для записи чисел используются буквы латинского алфавита. Приэтом буква I всегда обозначает число один, буква V — пять, X — десять, L — пятьдесят, С — сто, D — пятьсот, М — тысячу и т. д.

Так, например, число 2368 запишется в римской системе в виде

MMCCCLXVIII.

Обозначенное этой записью число получается сложением чисел, изображенных отдельными буквами. По этой причине непозиционные системы счисления часто

называют также аддитивными.

При развитии римской системы было внесено некоторое уЪовершенстаование: чтобы уменьшить число знаков, требуемых для записи числа, установили, что если поместить букву, обозначающую меньшее число, слева от буквы, обозначающей большее число, то это меньшее число следует вычитать из большего. Например, вместо того чтобы число сорок обозначить ХХХХ, стали писать XL, число девять вместо VIIIIстали писать IX, четыре—IV и т. п. Однако это усовер­шенствование никак не отражалось на основном принципе — каждая используемая буква всегда обозначает одно и то же число. Поэтому записи больших чисел были весьма громоздкими. Более того, введенных знаков не хватало и сколько бы ни вводили новых знаков, всегда можно было придумать число, которое трудно запи­сать.

В позиционной системе счисления один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места, т. е. пози­ции, занимаемой этим знаком в записи числа. Например, запись «5555» в десятичной системе счисления обозначает число «пять тысяч пятьсот пятьдесят пять» с помощью одного знака, одной цифры 5, повторенной четыре раза, и каждая из этих четырех пятерок обозначает число, отличное от других, в зависимости от позиции знака 5 в этой записи: крайняя правая—_: число пять, вторая справа — число пятьдесят, третья справа — число пятьсот и, наконец, первая слева—число пять тысяч.

Десятичная позиционная система счисления берет свое начало от счета на пальцах. Она была изобретена в Индии, заимство­вана арабами и уже через арабские страны пришла в Европу. В этой системе для записи любого числа используются лишь

десять знаков, называемых цифрам и, множество которых Л,₀ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} составляет алфавит этого языка. Перечисленные цифры являют­ся буквами этого алфавита.

Всякая конечная последовательность цифр алфавита — слово этого языка — обозначает число, являясь краткой, условной за­писью более сложного выражения, составленною по определенному правилу. Это единственное правило составляет «грамматику» описываемого языка.

Например, слово «3785» обозначает число, полученное как резуль­тат выполнения всех операций в выражении

3х1000 + 7х100 + 8х10 + 5, или 3х10³ + 7х10² + 8х10 +5

т. е. является краткой записью суммы произведений последователь­ных степеней числа 10 на натуральные числа, каждое из которых меньше 10. Эти числа и обозначаются цифрами, из которых образуется краткая условная запись числа в виде слова «3785» в результате опускания знаков + и • и последовательных степеней числа 10. Число 10 называют основанием системы счисления, а поэтому саму систему счисления — десятичной.

Вообще, если какое-нибудь число / записано в десятичной системе счисления с помощью слова *a_aa_n-.i..*aiQo», где каждая т — цифра, т. «е. 0-<а,^9, предполагается также, что а_пф0, т. е. все нули слева опускаются, то

а_п-л-10"-'

Чтобы не спутать слово с произведением, в котором иногда опускают знак умножения (•'), ставят над последовательностью букв черту.

Каждое число разбивается на разряды, которые считаются справа налево: единицы, десятки, сотни, тысячи, десятки тысяч и т. д. При чтении слова «3785» мы не читаем названия цифр («три- семь восемь пять»), а читаем числа, обозначаемые этими цифрами, с учетом их места в записи числа, опуская лишь знаки,, которые подразумеваются («три тысячи семьсот восемьдесят пят-ь-»,). Единица каждого следующего (справа налево) разряда в десять раз больше единицы предыдущего (1, 10, 100, 1000, 10 000 и т. д.),, т. е. отношение соседних разрядов равно основанию системы.

Возможны позиционные системы счисления с основанием, от­личным от 10. Такие системы применялись и в древности. В част­ности, в Древнем Вавилоне была распространена система счисления с основанием 60. Вероятно, от нее происходит деление часа и градуса на 60 минут, минуты — на 60 секунд.

Вообще, если какое-нибудь число записано в системе счисления с основанием р с помощью слова «a_n,a_n-1...aiOo», где a, — цифры

из алфавита этого языка, обозначающие числа от 0 до р—1, О^а^р — 1 и а_пфй, то это означает, что

ⁿ-¹ + + a

т. е. запись числа в пятеричной системе счисления, где 0^^ т. е. алфавит этого языка состоит из пяти цифр — As = {0, 1, 2, 3, 4}. При р=8, очевидно,

/ = a_n8ⁿ + a_n_₁8ⁿ-' + ...+ 0,8 + сю —

I запись числа I в восьмеричной системе счисления, в которой 0<а₍<7, т. е. алфавит Л₈={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

При р = 2 получаем запись числа в двоичной системе счисления:

Z = a_n2" + a_n_ ,2"-' + ... + 0,2 + 00, в которой а; = 0 или 1, т. е. алфавит состоит всего из двух знаков

Л₂ = {0, \\.

Запись числа в системе счисления с основанием р называют также р-ичным числом. Так, говоря «десятичное», «пятеричное», «восьмеричное», «двоичное» число, имеется в виду запись числа соответственно в десятичной, пятеричной, восьмеричной, двоичной

системе счисления.

Естественно возникает вопрос: можно ли любое натуральное

число записать в любой системе счисления? Покажем на примере, что это можно.

Найдем запись десятичного числа 1766 в пятеричной системе

счисления. Так как 5⁴<1766<;5⁵, то наибольшая степень числа

5, которая содержится в этом числе,— это 5⁴. Разделив данное число

на 625, найдем в частном 2 и в остатке 516, т. е. 1766 = 2-5⁴ + 516.

Важно отметить, что частное должно быть меньше 5, иначе

5⁴ не было бы самой высокой степенью 5, содержащейся в числе

1766, а остаток, как всегда, меньше делителя.

Теперь можно выделить следующую степень, 5³, из остатка:

516 = 4-5³ + 16.

Таким образом, десятичное число 1766 запишется на языке пятеричной системы счисления в виде слова «24031», т. е. 1766 = 240315. Индекс 5 указывает, что число записано в пятеричной системе счисления; при десятичном числе индекс обычно опускается.

Рассмотренный пример, хотя и не служит доказательством возможности представления любого числа в любой системе счисле­ния, содержит все элементы такого доказательства, и проведенное рассуждение может быть соответствующим образом обобщено на случай любого Числа и любой системы счисления.

Этот же пример указывает общий метод или алгоритм пере­вода десятичного числа в недесятичную, в данном примере— в пятеричную систему счисления. Удобнее находить последовательные цифры пятеричного числа не слева направо, как они найдены выше, а справа налево. В таком случае можно будет процесс пе­ревода представить в виде процесса последовательного деления на 5 данного числа, затем частного, второго частного и т. д. до получения частного, равного 0.

Это последовательное деление обычно записывается так:

Последовательность остатков, записанная в порядке следования от последнего к первому, и представляет собой слово «24031», изображающее данное десятичное число 1766 в пятеричной системе

счисления.

Переведем это же число 1766 в двоичную систему счисления и полученное двоичное число — обратно в десятичную систему.

Значит, 1766=11011100110₂.

Арифметические действия производятся в недесятичных системах счисления по тем же правилам, что и в десятичной системе. Например, при сложении складываются соответствующие разряды, начиная с младших. Если в данном разряде образуется сумма, уже не умещающаяся в нем, то соответствующее превышение переносится в следующий старший разряд. Таким образом, факти­чески используется таблица сложения для однозначных чисел. Наи­более проста таблица сложения в двоичной системе счисления:

Сложение двух многозначных двоичных чисел выглядит так:

111011101

Умножение в двоичной системе счисления определяется сле­дующей таблицей:

Двоичная система счисления неудобна для ручных расчетов: записи чисел в двоичной системе в среднем в три раза длиннее, чем в десятичной. Однако она оказалась весьма удобной для сов­ременных электронных вычислительных машин (ЭВМ), на которые сейчас перекладывается большая часть трудоемкой умственной ра­боты человека, выполняемой им при решении сложных математи­ческих и логических задач, задач по управлению сложными произ­водственными процессами, и которые играют все большую роль в современной науке, технике и производстве.

Это объясняется тем, что в ЭВМкаждая цифра должна изо­бражаться с помощью некоторого устойчивого состояния элемен­тов. Если применять десятичную систему, то понадобились бы физические элементы с десятью различными устойчивыми состояния­ми, каждое из которых должно моделировать один определенный знак алфавита этой системы, т. е. определенную цифру. Это зна­чительно усложнило бы конструкцию и без того сложных ЭВМ.Что же касается громоздких записей чисел в двоичной системе счисле­ния, то для ЭВМ, работающих со скоростями, достигающими не­скольких миллионов операций в секунду, длина слов, над которыми выполняются операции, не так существенна. Кроме того, преимуще­ство применения двоичной системы в качестве языка для ЭВМсостоит не только в удобстве изображения чисел с помощью элек­тронных элементов, но и в просторе выполнения арифметических операций, в чем мы уже убедились, а также в возможности коди­рования и нечисловой информации с помощью двоичного кода.