Формирование понятия геометрической фигуры

Исторически понятие геометрической фигуры, так же как понятие натурального числа, было одним из исходных понятий математики. Как и натуральные числа, понятие геометрической фигуры образовалось с помощью абстракции отождествления, в основе которой лежит некоторое отношение эквивалентности. В дан­ном случае таким отношением является «сходство», «подобие» предметов по их форме, с помощью которого множество предметов разбивается на классы эквивалентности так, что любые два пред­мета одного класса имеют одинаковую форму, а любые два предме­та различных классов — различные формы. Абстрагируясь при этом от других свойств предметов (цвета, величины, материала, из кото­рого они сделаны, назначения и т. д.), мы получаем самостоя­тельное понятие геометрической фигуры.

В математике поступают и так: класс подобных по форме предметов определяется любым принадлежащим ему предметом и называется формой.

В связи с рассмотрением отношения эквивалентности (гла­ва IV, § 4) был приведен пример классификации блоков по их форме. Решая эту задачу, дети получают классы квадратных, круглых, треугольных и прямоугольных блоков, затем каждый из этих классов, так же как и отдельные их представители, называются соответственно квадратом, кругом, треугольником, прямоугольником. В основе выделения этих понятий лежит отношение эквивалентности

«иметь одинаковую форму».

В изучении геометрии, и в частности геометрических фигур,

различают несколько уровней мышления.

Первый, самый простейший уровень характеризуется тем, что геометрические фигуры рассматриваются как целые и разли­чаются только по своей форме. Если показать дошкольнику круг, квадрат, прямоугольник и сообщить ему соответствующие названия, 1 то после некоторого времени он сможет безошибочно распознавать } эти фигуры исключительно по их форме (причем еще не аиалиаиро-ванной), не отличая квадрат от прямоугольника. На этом уровне квадрат противопоставляется прямоугольнику.

На следующем, втором, уровне проводится анализ восприни­маемых форм, в результате которого выявляются их свойства. Геометрические фигуры выступают уже как носители своих свойств и распознаются по этим свойствам, свойства фигур логически еще не упорядочены, они устанавливаются эмпирическим путем. Сами фигуры также не упорядочены, так как они только описываются, но не определяются. Этот уровень мышления в области геометрии еще не включает структуру логического следования.

©писанные выше два уровня вполне доступны детям 4—6 лет, и это обстоятельство следует учитывать при составлении программ «Лучения и разработке методики.

Из чего состоит геометрическая фигура?

Всякая геометрическая фигура подразумевается состоящей из точек, т. е. всякая геометрическая фигура представляет собой множество точек, ъ том числе одну точку тоже принято считать

геометрической фигурой.

Поэтому операции над множествами и отношения между мно­жествами, рассмотренные в главе Ш, можно переносить на геомет­рические фигуры как на множества точек.

Например, на рисунке 11 изображены •всевозможные отношения, в которых могут находиться квадрат и круг:

/ — круг находится в квадрате;

— квадрат находится в круге;

— квадрат и круг пересекаются;

— квадрат и круг не пересекаются.

Предлагая детям располагать квадрат и круг всевозможными способами или нарисовать их и закрашивать общую часть (пе­ресечение) определенным цветом, тем самым помогаем им выявить особенности каждого из отношений, изображенных на рисунке И:

а) все точки круга являются точками -квадрата;

Рис. 11.

б) все точки квадрата являются также точками круга;

в) квадрат и круг имеют общие и необщие точки;

г) у квадрата и круга нет общих точек.

На предматематическом уровне дети знакомятся с простейши­ми, но наиболее . распространенными геометрическими фигурами: различными линиями, формами блоков — квадратом, кругом, тре­угольником, а также пятиугольником, шестиугольником. Строгих определений, разумеется, на этом уровне не дается.

§ 2. Виды геометрических фигур

Будем рассматривать далее лишь те виды простейших гео­метрических фигур, с которыми приходится иметь дело в процессе обучения дошкольников.

Все геометрические фигуры делятся на плоские и простран­ственные. Так, например, квадрат, круг — плоские фигуры; куб, шар — пространственные. Начнем с рассмотрения линий. Под ли­нией будем иметь в виду плоскую линию -т- линию, все точки которой лежат на некоторой плоскости, а сама линия есть подмножество точек плоскости.

Очевидно, что такие разъяснения, как «длина без ширины» или «граница поверхности», не могут приниматься за точные оп­ределения, так как мы не знаем точный смысл терминов «длина», «ширина», «граница», «поверхность» и т. п. По существу в элемен­тарной геометрии понятие линии считается интуитивно ясным и их изучение, сводится к рассмотрению различных примеров: прямая, ломаная, кривая, замкнутая линия, незамкнутая линия, отрезок и др.

Прямую линию, или просто прямую, можно выделить среди дру­гих линий с помощью ее характеристических свойств, т. е. таких свойств, которыми обладает только прямая и никакие другие линии.

На рисунке 12 между деревом и домом проложено несколько тропинок. На геометрическом языке это означает: через две точки D и С проходит несколько линий. Прямая выделяется среди них тем, что это — линия кратчайшего расстояния.

Еще одно характеристическое свойство прямой: через две точки D и С можно провести много различных линий, прямых — только одну, т. е. через две точки проходит одна и только одна

прямая.

Линии бывают замкнутыми и незамкнутыми. На­пример, прямая — незамкнутая линия, окружность — замкнутая.

По отношению к прямой две точки могут находиться «по одну сторону» от нее или «по разные стороны». Например, дом и де­рево могут находиться по одну сторону от речки и тогда можно дойти от дома до дерева или обратно, не проходя через мост. Если же они находятся по разным сторонам от реки, то дойти от дома до сада или обратно, не проходя через мост, нельзя.

На геометрическом языке эта ситуация описывается следую-

Sf; щим образом. Две точки А к В находятся по одну сторону от

прямой /, если отрезок, соединяющий эти точки, не пересекает

прямую / (рис. 13).

Две точки Л и С (рис. 13) находятся по разные стороны от прямой /, если отрезок Л С, соединяющий эти точки, пересекает

прямую I.

По существу прямая I разбивает множество всех не принадле­жащих ей точек плоскости на два класса (два подмножества), называемые п о л уплоскост я м и с границей /. Это раз­биение порождается отношением эквивалентности, введенным в множество всех не принадлежа­щих / точек плоскости следую­щим образом: две точки нахо­дятся в этом отношении, если отрезок, соединяющий их, не пересекает прямую /, и не нахо­дятся в этом отношении, если этот отрезок пересекает пря­мую /.

Дети довольно рано усваивают, что означает «внутри» и «вне» некоторой замкнутой ли­нии. Пример этого — детская игра в классы. Чтобы успешно переходить из класса в класс, нужно, прыгая и бросая биту, точно попадать внутрь опреде­ленного класса (квадрата). Первые представления о «внутри» и «вне» закрепляются в играх с обручами (глава III), когда дети встречаются со все усложняющимися ситуациями

определение блоков внутри и вне одного обруча, внутри одного и вне другого обруча, внутри всех трех обручей, внутри двух обручей и вне третьего и т. п. Поэтому перед решением задач, связанных с- классификацией блоков, или фигур в играх с обручами необхо­димо выяснить, распознают ли дети внутреннюю и внешнюю области по отношению к каждому обручу.

Переведем теперь эти ситуации на язык геометрии. Интуитивно ясно, что всякая окружность разбивает множество всех не принадлежащих ей точек плоскости на две области (рис. 14). Если две точки Л и В или D и Е лежат в одной области, то отрезок, соединяющий их, не пересекает линии /; если две точки, например С и D, принадлежат различным областям, то соединяющий их отрезок пересекает линию / (в точке К)-

Одна из этих областей называется внутренней, другая — внешней. Каким же геометрическим свойством можно охаракте­ризовать внутреннюю или внешнюю область?

Область, которая интуитивно принимается за внешнюю, обладает следующим свойством: можно найти в этой области две точки, например D и Е, такие, что прямая, проходящая через них, целиком лежит в этой области. Вторая область, которая интуитивно прини­мается за внутреннюю, не обладает этим свойством или характери­зуется свойством, представляющим собой отрицание характеристи­ческого свойства внешней области, т. е. нельзя найти в ней такие две точки, чтобы прямая, проходящая через них, лежала целиком в этой области (или, иначе, прямая, проходящая через любые две точки этой области, обязательно пересекает линию /).

Выше мы пользовались понятием «отрезок» и связывали его неизменно с двумя точками: «отрезок АВ», «отрезок, соединяю­щий точки Л и В» и т. п. Что же такое отрезок? Иногда го­ворят «часть прямой». Это можно понимать как подмножество точек прямой. Но какое это подмножество?

Иногда пользуются отношением «между», применимым к трем

точкам. Это отношение соответст­вует наглядному представлению о точке, лежащей на прямой меж­ду двумя другими точками: если точка С лежит между точками А и В, то нельзя «дойти» по пря­мой от Л к В, не пройдя через точку С. Эти наглядные представ­ления подсказывают и некоторые свойства отношения «между»: если точка С лежит между А и В, то С лежит и между В и Л; из трех точек только одна лежит между двумя другими, т. е. если С лежит между Л и В, то уже А

не лежит между С и В, а также В не лежит между А и С.

Имеются две различные трактовки понятия отрезка {ш су­ществу два различных понятия). По одной из них отрезку АВ принадлежат сами точки Л и В (концы отрезка) и все точки прямой АВ, лежащие между А и В. По другой трактовке точки А я В не считаются принадлежащими отрезку АВ, хотя по-прежнему назы­ваются его концами (т. е. концы отрезка не принадлежат

ему).

Мы будем придерживаться первой трактовки, дидактически

более целесообразной.

Так как через две точки Л и В проходит единственная прямая АВ, то эти две точки определяют и единственный отрезок с

концами Л и В.

Зная, что такое отрезок, можно уточнить и понятие ломаной

линии.

Если Ль Л2, Аъ,... , А„_!, А_п — точки, никакие последовательные три из которых не лежат на одной прямой, то линия, состоящая из отрезков Л1Л2, Л2Л3, ..., Л_П-|Л„, называется ломаной линией, эти отрезки называются звеньями ломаной, а точки Ль Аъ, Аг, ..., Ап-\, Л„ — ее вершинами, точки А\ и А_п назы­ваются также концами ломаной.

Если концы ломаной совпадают, то ломаная называется з а м к-н у т о й, в противном случае — «е замкну той (строгие опреде­ления замкнутой и незамкнутой кривой линии в элементарной

геометрии не даются).

На рисунке 15, 1 изображена замкнутая ломаная линия, на

рисунке 15,2 — незамкнутая.

Как и всякая замкнутая линия, замкнутая ломаная линия раз­бивает множество не принадлежащих ей точек плоскости на две об­ласти — внутреннюю и внешнюю.

Среди ломаных линий выделяют простые (без самопересече­ний) ломаные линии, т. е. такие, которые сами себя не пересе­кают.

Изображенные на рисунке 15 ломаные линии простые. На

Р«с. 15

рисунке 16,/, 2 изображены непростые, сами себя пересекающие ломаные линии.

Перейдем теперь к рассмотрению многоугольников. Имеются два основных подхода, по существу определяющих различные поня­тия: согласно одному из них под многоугольником понимают прос­тую замкнутую ломаную линию, согласно второму — простую зам­кнутую ломаную вместе с ее внутренней областью или объединение простой замкнутой ломаной и ее внутренней области.

Согласно первой трактовке модель многоугольника, напри­мер, можно изготовить из проволоки, по второй — вырезать из бумаги. Какая же из двух трактовок более целесообразна с дидак­тической точки зрения? (С логической точки зрения обе трактовки корректны и имеют право на существование.) Для маленьких детей более естественным является называть квадратом, треуголь­ником и т. д. именно ту фигуру, которую они закрасили и выреза­ли, т. е. ломаную вместе с ее внутренней областью. Поэтому пред­ставляется, что и для школы вторая трактовка является более це­лесообразной.

Многоугольники классифицируются по числу сторон или углов: треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники и т. д. Наблюдая различные многоугольники, можно обнаружить наличие или отсутствие свойства, называемого выпуклостью.

На рисунке 17 изображены многоугольники, обладающие (в случаях /, 2, 4, 6) и не обладающие (в случаях 3, 5, 7) этим свой­ством.

Как же геометрически описать это интуитивно ясное свойство? Любой из многоугольников в случаях /, 2, 4, 6 (рис. 17) располо­жен по одну сторону от прямой, проведенной через каждую его сторону, т. е. если продолжить любую сторону, полученная прямая не пересечет многоугольник (с этой целью на рисунке стороны этих многоугольников продолжены пунктиром). В каждом из много­угольников в случаях 3, 5, 7 существует хотя бы одна такая сторона, продолжение которой пересекает многоугольник. Первые назы­ваются выпуклыми, вторые — невыпуклыми.'

Рис. 17.

Треугольник, квадрат, прямоугольник — выпуклые четырехуголь­ники. Пятиконечная звездочка — невыпуклый десятиугольник.

Стороны, включая вершины, многоугольника, т. е. замкнутая ломаная, образуют границу многоугольника. Это интуитивно ясное понятие. Например, интуитивное представление о границе фигуры готовит детей к географическому понятию границы.

Чем же отличается граничная точка, т. е. точка, принадлежа­щая границе, от внутренней точки многоугольника (и вообще фи­гуры)? Как это различие описать геометрически?

С этой целью введем понятие окрестности точки. Под окрест­ностью точки А будем понимать круг любого радиуса с центром в точке А. Теперь, пользуясь этим весьма наглядным понятием, опишем различие между внутренней и граничной точками много­угольника.

Для любой внутренней точки А, как бы близка она ни была к границе, всегда можно найти окрестность, все точки которой внутренние (рис. 18, 1,2).

Для граничной точки В нет такой окрестности, т. е. какую бы окрестность точки В ни взя­ли, внутри ее найдутся как внутренние, так и внешние точ­ки. Такими же свойствами об­ладают внутренние и гранич­ные точки на географической карте, представляющей собой некоторую геометрическую фи­гуру.

Например, на географиче­ской карте СССР для любой р_ис. 18.

внутренней точки можно найти окрестность, внутри которой все точки принадлежат территории СССР. Для любой точки на гра­нице СССР такой окрестности нет, т. е. в любой окрестности такой точки найдутся как точки, принадлежащие СССР, так и точки, принадлежащие сосед­нему государству.

Среди форм используемых нами блоков (или фигур), кро­ме треугольника, квадрата, пря­моугольника, имеется и круг. Кроме того, многие предметы, с которыми встречаются дети (тарелки, блюдца, колеса вело­сипеда и др.), имеют круглую форму. Считаем нецелесообраз­ным для дошкольников вводить термин «окружность».

В элементарной геометрии круг определяется как множе­ство (или геометрическое место) всех точек плоскости, удаленных от некоторой точки, называемой центром, на расстояние, не превышающее R (/? —радиус круга); окружность определяется аналогично как множество всех точек плоскости, удаленных от точки, называемой центром, на одно и то же расстояние R.

Заметим, что если в этих формулировках слово «плоскость» за­менить словом «пространство», то получим определения шара и сфе­ры, соответственно пространственных аналогов круга и окружности. Круг, окружность, шар и сферу можно определить и генети­чески, т. е. описанием процесса образования этих фигур. Этот процесс легко смоделировать: если отрезок зафиксировать в од­ном конце и вращать его около этого конца, то он опишет круг, а второй его конец — окружность. Если полукруг вращать около диаметра, то он опишет шар, а ограничивающая его полуокруж­ность — сферу.

Дошкольники знакомятся также с одним из простейших много­гранников, каким является куб.

Куб — пространственный аналог квадрата. Он ограничен шестью квадратами. Его можно сконструировать (склеить) из плоской фи­гуры выкройки, изображенной на рисунке 19.

Ознакомление детей с описанными выше простейшими геомет­рическими фигурами является пропедевтической основой для даль­нейшего формирования и развития у них геометрических, в том числе пространственных, представлений.