Теорема Котельникова-Шеннона

Изображение по Лапласу решётчатого сигнала X^*(t) имеет вид:

Частотную характеристику решетчатого сигнала получаем заменой :

Учитывая, что:

Рис. 1.22

Найдем частотную характеристику исходного непрерывного сигнала:

Заменим точное интегральное соотношение на приближенное в виде суммы:

Спектр решетчатого сигнала X^*(jw) повторяет спектр непрерывного X (jw) с точностью до константы, но является периодическим.

Будем считать, что спектр непрерывного сигнала ограничен.

Рис. 1.23

Рис. 1.24

Сигнал на выходе фильтра - гладкий

Чтобы восстановить непрерывный сигнал из квантованного с помощью идеального фильтра (ИФ) с прямоугольной частотной характеристикой (рис. 1.24), необходимо (как это видно из рис.1.23) выполнение соотношения:

Последнее выражение и есть аналитическая формулировка теоремы Котельникова-Шеннона.