Экспериментальное получение характеристик случайного процесса.

1. Эргодические СП.

2. Оценка КФ.

3. Оценка спектральной плотности.

Пусть имеется СП . Для полного описания его, необходимо найти ФР этого процесса, то есть . Однако нахождение -мерной ФР представляется неразрешимой задачей. Поэтому для его описания используют менее информативные вероятностные характеристики:

В общем случае

, где – СПы (независимые), характеристики которых совпадают с характеристиками исходного СП.

(х)

(хх)

Для использования этих формул необходимо обладать большим набором реализаций .

Предположим, что – ССП:

.

Таким образом формулы (х) и (хх) являются общими для стационарных и нестационарных СП.

.

Рассмотрим ССП. Для него: – постоянная составляющая СП .

Предположим имеется реализация . Как определить постоянную составляющую?

Для детерминированной функции (непериодической)

– может ли быть эта формула оценкой МО по одной реализации?

– по набору реализаций.

тогда .

Тогда при и .

ССП называется эргодическим, если его среднее по ансамблю реализаций совпадает со средним по одной реализации.

Возникает вопрос, а как проверить свойства эргодичности СП?

Необходимо проверить свойства оценки

1) – данная оценка является несмещенной.

2) .

Поскольку, при , то оценка является состоятельной.

.

Таким образом процесс будет эргодическим если его корреляционная функция удовлетворяет следующему условию (необходимо и достаточно).

.

Достаточным является условие при .

Достаточно стационарности в широком смысле.

Эргодичность, которую мы сформулировали называется эргодичностью относительно МО. Не все ССП являются эргодическими. 1) – несмещенная оценка. 2) , где .

ССП эргодичен относительно моментов при выполнении следующего условия:

.

Стационарность СП в широком смысле уже не удовлетворительна, потому при рассмотрении моментов более высокого порядка необходимо, чтобы процесс был стационарным в узком смысле.

– ССП в узком смысле.

Процесс наблюдается на конечном интервале

(1)

1) Существуют формулы с

2)

Таким образом

В формуле (1) при центрировании можно использовать либо , либо (во втором случае формулы для ошибок намного усложняются).

На практике предполагают, что .

1) Оценка является несмещенной.

2)

Таким образом корреляционные функции на хвостах производятся с очень большой относительной ошибкой.

Для улучшения качества оценки корреляционной функции , где – корреляционное окно, которое должно удовлетворять всем свойствам корреляционной функции. В литературе рассмотрены не менее 10 корреляционных окон.