Простейшие преобразования СП

1.1 ,

где , – детерменированние функции; – СП.

Все последующие задачи будем рассматривать в рамках корреляционной теории.

Найдем математическое ожидание (МО) процесса

Найдем

Таким образом

Возникает вопрос может ли быть процесс стационарным случайным процессом (ССП)?

1) МО в общем случае не равно const. В частности, когда , – const, тогда – const.

Возможно, что – const при – const и – const.

2) В общем случае данный процесс является нестационарным

1.2. (линейная комбинация СП)

1.

2.

Частный случай, если все и входящие в сумму процессы некоррелированы корреляционная функция суммы равна сумме корреляционных функций

Процесс такого вида является нестационарным, однако при и процессы – стационарно связанные.

3. Пусть все – некоррелированы

.

Если сумма бесконечна имеет ли смысл рассматривать процесс ? Когда необходимо потребовать, чтобы (Так как в рамках корреляционной теории дисперсия должна быть конечной).

, разложения СП

Каноническое разложение СП (один из видов)

(другой вариант), где – детерминированная функция, – случайная величина (СВ).

Эти канонические разложения ввел академик Пугачев (в его книге описано получения этих канонических разложений).

Функции и называются координатными функциями в канонических разложениях.

1.3. ,

Модуль возникает из-за физического смысла

Если действительная и мнимая часть некоррелированы, то – действительная функция. Таким образом если – действительная, то это не значит, что сам процесс действителен. Процесс будет стационарен, если Re и Im являются стационарно свзанными. Комплексный СП называется гильбертовым если он обладает конечной дисперсией, то есть (Аналогия с ТПС, конечная средняя мощность или процессы с конечной энергией).

Дисперсия характеризует не только размах значений, с точки зрения энергии она характеризует среднюю мощность СП.

Функция непрерывна в точке , когда

Последовательность если

Для СВ существует 4 вида сходимости

1. с вероятностью 1

2. по вероятности

3. среднеквадратическая

4. по распределению

Распишем среднеквадратическую метрику

Возникает необходимость в решении предела, что является проблематично. Как уйти от предела? Лоэв решил эту проблему, предложив критерий, названый в его честь.

тогда

Определение СП называется непрерывным при если

(1.1)

Целью является определение свойств МО, через существование (1.1)

Если то в этой точке – непрерывной и по диагонали

если непрерывна в любой точке то процесс называется непрерывным. Этот процесс стохастически непрерывным 1) – непрерывна на диагонали, то есть при ( ) – тоже должна быть непрерывна (по свойствам непрерывных функций).

Таким образом для непрерывности СП необходимо, чтобы непрерывна была и .

1.2) – ССП (условие непрерывности для не нужно, так как )

только при определяет непрерывность СП

1.3) Из того, что является непрерывным не следует что его реализации являются непрерывными функциями.

Пусть все реализации СП кусочно-постоянные, то есть имеют разрыв второго рода.

Такой процесс является непрерывным если точки не являются фиксированными.

Если – не фиксированные, то точки случайным образом расположены на временной оси.

Пример

Процесс не является непрерывным так как его реализации имеют разрыв (всегда) в момент времени .

У случайного процесса доминирующими являются не реализации, а его вероятностные свойства.

Определение: Пусть – непрерывный СП, тогда СП называется производной процесса

Воспользуемся критерием Лоэва для объяснения условий, которым должна удовлетворять и МО.

Вычислим предел вида

Для того, чтобы СП был дифференцирован в точке необходимо и достаточно чтобы в этой точке была дифференцируемая его ковариационная функция.

1. Если дифференцируемая в любой точке , то процесс дифференцируемый на всей временной оси.

Вычислим условие которое должна удовлетворять и МО дифференцируемого СП.

2. Следовательно и должна существовать.

3. – ССП.

4. Если СП является дифференцируемым, то это не значит, что дифференцируемыми являются его реализации.

Пусть – комплексный СП.

, где – комплекснозначная функция.

Необходимо узнать условия которым должны удовлетворять характеристики СП , чтобы этот интеграл существовал или имел смысл.

Разбив промежуток времени на точки

,

Если предел при то тогда мы говорим, что существует интеграл от СП.

Согласно критерию Лоэва:

Если при предел существует, то СП – интегрируем. Мы рассмотрим интеграл вида , однако часто необходимо рассматривать

Условие существования такого интеграла

Если – ССП все тоже самое, только

Если весовая функция является спадающей, то ее наличие упрощает требования к ковариационной функции .

Корреляционный анализ линейных систем (ЛС)

1. Анализ параметрических ЛС.

2. Анализ непараметрических ЛС.

3. Анализ многокаскадных ЛС.

4. Линейные случайные процессы.

Вспомним: если есть , отклик и оператор , то тогда между ними существует следующая связь

Классификация систем была приведена в курсе ТПС.

Линейная система – это система, которая удовлетворяет принципу суперпозиции. в этом случае обозначается .

Временная область: 1) дифференциальные уравнения

2) импульсная переходная функция (ИПФ)

По сути ИПФ является решением дифференциального уравнения. Эти характеристики практически всегда можно получить одну через другую.

Дифференциальные уравнения не дают связи между и .

ИПФ напрямую дает связь между и .

, где – отклик ЛС на .

Для непараметрических систем (характеристики не зависят от )

Заданы: вероятностные характеристики воздействия, и требуется найти вероятностные характеристики отклика.

Данная задача может быть решена в полной постановке (в узком смысле – в терминологии закона распределения (ЗР)) или в широком смысле – корреляционная теория. Нахождение ЗР отклика на выходе ЛС в настоящее время отсутствует за исключением нескольких частных случаев.

Мы будем решать эту задачу в рамках корреляционной теории.

Необходимо найти: 1) ; 2) ; 3) ; 4)

Используя свойство МО найдем вышеперечисленные характеристики.

1)

2)

3)

где

Для существования необходимо интегрирование МО и корреляционной функции с весом.

5)

6)

Можно ли говорить (на основании полученных результатов), что – ССП (при общей постановке задачи).

В общем случае – нестационарный СП.

При каких условиях может быть ССП.

1) Пусть система является непараметрической

2) Воздействие – ССП

Для решения задачи мы будем использовать полученные ранее формулы

Таким образом система пассивна – МО воздействия и отклика совпадают.

Пассивная система – это система, в которой отсутствуют устройства преобразования энергии.

Произведем замену , , .

Таким образом процесс является стационарным (корреляционная функция зависит от разности )

Замена , , .

– Корреляционное преобразование системы

. Окончательное выражение для нахождения

.

Результирующая формула

.

Проверим, как ведет себя взаимная корреляционная функция

Замена , , ,

в результате замены получим:

.

Таким образом воздействие и отклик являются стационарно связанными СП.

.

Самостоятельно

3.1 Последовательная система

Таким образом задача может быть сформулирована несколько иначе

таким образом

Если система является непараметрической то эквивалентная система тоже является непараметрической и определяется:

Выводы: Все результаты, полученные в пп. 1,2 справедливы для последовательной системы. Количество систем в цепочке неважно.

3.2. Параллельные системы

Когда характеристики системы совпадают, то совпадает с корреляционными функциями

Дальнейший анализ: можно предположить, что будет если обе системы непараметрические и воздействие является ССП

На вход подается белый шум (БШ) в широком смысле, так как задача решается в рамках корреляционной теории.

Рассмотрим стационарный БШ.

Предположим, что , – интенсивность БШ.

; Для стационарного БШ получим

Если система непараметрическая, тогда – стационарный процесс.

,

с точностью до постоянной совпадает с корреляционным преобразованием системы.

с точностью до постоянной совпадает с импульсной переходной функцией

– часто используется при идентификации системы.

Вспомним, что

, в том случае, когда – БШ – процесс называют линейным СП (ЛСП).

В узком смысле в узком смысле

В широком смысле в широком смысле

ЛСП – это отклик системы при воздействии на нее БШ.

Возникает ряд задач:

1) Если БШ в узком смысле, то что тогда будет? Нахождение ЗР.

2) Каким образом ЛСП можно представить как результат фильтрации БШ линейной системой с ИПФ ? Обратная задача. Задача заключается в нахождении , тогда этот фильтр называют формирующим фильтром.

ЛСП в узком смысле мы рассмотрим позднее.