Модели флуктуационных процессов

1. Процессы Бунимовича-Райса.

2. Пуассоновские импульсные процессы.

3. Линейные СП.

4. ЗР флуктуационных процессов.

Предположения

1) В случайные моменты времени возникают элементарные импульсы.

2) Форма импульса описывается детерминированной функцией ,

3) Импульсы имеют случайную амплитуду , где – независимая СВ, и независимая с

4) Флуктуационный процесс является суммой импульсов.

Исходя из предположений, моделью флуктуационного процесса будет:

, где

– начальные моменты амплитуды.

Если тогда тогда – стационарный в узком смысле процесс.

1. Данная модель пригодна только для стационарных флуктуационных сигналов.

2. Случайными являются только амплитуды.

3. Форма импульса одинакова для всех

Если

Простейшая модель БШ

перешли к модели Бунимовича-Райса

Ограничения , (1)

В результате линейных преобразований часть имеет вид,

Поскольку условие (1) не выполняется, то нельзя использовать данные модели. Второе ограничение : 1) форма импульсов быть различной в разные моменты времени

. 2) форма импульсов может зависеть не только от

, но и от различных случайных параметров.

Сформулируем основные предположения, необходимые для перехода к модели ПИП.

1) – пуассоновский поток событий, в общем случае – неоднородный, но .

2) В момент возникают элементарные импульсы, форма которых описывается детерминированной функцией , где – набор параметров (оговорим, что при нету )

3) Постоянные могут быть случайными то есть , для удобства

4) – модель Пуассоновских импульсных процессов.

, – имеет одинаковый закон распределения.

, – возможные значения .

Необходимо вычислить интеграл для

Принимается и – независимые СВ, только тогда используют данную модель.

Предположим, что

1. в момент времени возникают элементарные импульсы, образуют пуассоновскую последовательность на интервале

2. форма импульсов описывается детерминированной функцией , то есть форма импульса может зависеть от .

3. амплитуды импульсов – независимы, одинаково распределенные СВ, и – независимы.

4. в момент времени флуктуационный процесс представляет собой сумму элементарных импульсов, то есть .

– области .

, где – независимая.

Возникает вопрос, связанный с приведением данной модели к компактному виду.

Конечная сумма сложных процессов Пуассона является процессом с независимыми приращениями , тогда – ЛСП, где – порождающий процесс, – ядро ЛСП.

ЛСП – результат фильтрации БШ в узком смысле линейной системой с импульсной характеристикой .

Выводы:

1. ЛСП является суммой большого числа импульсов, форма которых описана , а параметры импульсов заложены в процессе .

2. ЛСП – отклик ЛС при воздействии на нее БШ.

Частные случаи модели ЛСП

1. Пусть – однородный СП и . ЛСП может быть записан в следующем виде – стационарный в узком смысле СП. БШ в УС –> непараметрическая система –> ЛСП в УС.

– процесс с независимыми приращениями.

3. , тогда .

В качестве модели будем рассматривать ЛСП с однородным .

– для линейного СП.

Если – однородный процесс Пуассона –> .

Для стационарного процесса

Для ЛСП нахождение является не эффективным. Для более детального изучения флуктуационных процессов целесообразно находить моменты порядка .

Наиболее полную характеристику ФП дают их ЗР.

– ПСФ порождающего процесса.

В ряде случаев раскладывается в ряд. При условии тогда – гауссовская ХФ.

Возникает вопрос – как точно найти ЗР флуктуационного сигнала.

Варианты решения поставленной задачи:

1. Находят – задача сточки зрения математики не имеет решения в общем случае потому, что ХФ – безгранично делима (БД) (в явном виде вычислить нельзя для БД ).