Теоремы о вихрях

Векторы вихря образуют векторное поле, в котором могут быть найдены векторные линии и векторные трубки.

Линия, в каждой точке которой вихри вектора скорости (rot ) или векторы угловых скоростей вращения частиц касательных к ней, называется вихревой линией. Уравнение вихревых линий, по аналогии с линией тока, будет

. (Д.3.1)

Если в пространстве, заполненном вихрями, взять некоторый замкнутый контур (не являющийся вихревой линией) и через каждую точку этого контура провести вихревые линии, то образуется вихревая поверхность. Часть жидкости, ограниченная этой поверхностью, называется вихревой трубкой. Когда замкнутый контур бесконечно мал, вихревая трубка называется элементарной.

Из определения вихревой линии и вихревой поверхности следует, что в любой точке таких линий и поверхностей нормальная составляющая вихря скорости равна нулю.

Напомним связь между вектором вихря скорости rot и вектором угловой скорости вращения

,

введем представление о потоке вектора вихря скорости

и учтём известный из векторного анализа факт, что поток любого вектора через любую замкнутую поверхность, внутри которой нет особенностей, равен нулю.

Поэтому и поток вектора вихря по любой замкнутой поверхности тоже равен нулю, т.е.

. (Д.3.2)

Так как поток вихря по боковой поверхности равен нулю, то согласно формуле (Д.3.2)

. (Д.3.3)

Из предыдущего равенства вытекает свойство вихревых трубок, известное в кинематике как вторая теорема Гельмгольца: поток вектора вихря скорости через любое поперечное сечение вихревой трубки в данный момент времени постоянный вдоль всей трубки.

Из этой теоремы следует, что поток вихря есть величина, характерная для всей вихревой трубки, поэтому поток вихря принимают за характеристику вихревой трубки и называют интенсивностью

. (Д.3.4)

В основной части вихревая трубка называлась вихревым шнуром, зависимость (10.1) эквивалентна (Д.3.4).

Если величина вихря постоянна по сечению вихревой трубки, то вторую теорему Гельмгольца можно записать в виде

. (Д.3.5)

Из этой формулировки вытекают важные следствия:

1. Сечение вихревой трубки нигде не может стать равным нулю, так как в этом случае скорость вращения частиц должна стать бесконечно большой, что физически невозможно;

2. Вихревые трубки не могут заканчиваться внутри жидкости: они либо замыкаются на себя, образуя вихревые кольца, либо «опираются» на стенку или на свободную поверхность. К последнему типу вихрей относятся наблюдаемые в природе водяные и воздушные смерчи.

, (Д.3.6)

где через U_l обозначена касательная составляющая скорости, а – элемент длины контура.

В соответствии с (Д.3.6) размерность циркуляции , т.е. та же, что и интенсивности.

(Д.3.7)

и формулируется так: поток вектора вихря через произвольную незамкнутую поверхность равен циркуляции скорости по контуру, на который опирается эта поверхность.

Следовательно, согласно теореме Стокса, интенсивность вихревой трубки равна циркуляции скорости по контуру площади её поперечного сечения S. Если считать, что вне вихревой трубки жидкость не завихрена ( ), то контур l сечения вихревой трубки можно деформировать в произвольный контур l₁, находящийся в жидкости и охватывающий вихревую трубку.

Задача Д.3.1. Определить, является ли турбулентное течение в круглой трубе вихревым, если скорость по сечению распределяется по закону

,

где U –скорость жидкости в точке, удалённой на расстояние r от оси трубы; – радиус трубы; – некоторая скорость.

Решение. Направляем оси декартовой системы координат так, чтобы ось абсцисс (OX) совпадала с осью трубы. Тогда расстояние от оси трубы до рассматриваемой точки определится так

,

и проекции скорости будут такие

,

, .

Имеем также

,

.

Применяя зависимости (9.5), получаем окончательно

,

.

Таким образом, турбулентное течение в круглой трубе является вихревым.

Литература

1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.1. Механика: учеб. пособие для вузов. / Д.В. Сивухин. М.: Наука, 1974. 520 с.

2. Повх И.Л. Техническая гидромеханика: учеб. пособие для вузов. Изд. 2-е, перераб. и доп. / И.Л. Повх. Л.: Машиностроение (Ленингр. отд-ние), 1976. 504 с.

3. Рауз Х. Механика жидкости / Х. Рауз. М.: Изд-во литературы по строительству, 1967. 390 с.

4. Калякин А.М. Кинематика: конспект лекций / А.М. Калякин. Саратов, 2001. 50 с.

5. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости / Н.А. Слезкин. М.: Гос. Изд-во технико-теоретической литературы, 1955. 520 с.

6. Альтшуль А.Д. Гидравлика и аэродинамика / А.Д. Альтшуль, П.Г. Киселёв. М.: Стройиздат, 1975. 320 с.

7. Киселёв П. Г. Гидравлика. Основы механики жидкости. М.: Энергия, 1980. 360 с.

8. Штеренлихт Д.В. Гидравлика: учебник для вузов / Д.В. Штеренлихт. М.: Наука, 1984. 640 с.

9. Смыслов В.В. Гидравлика и аэродинамика: учебник для вузов / В.В. Смыслов. Киев: Высшая школа, 1979. 336 с.

10. Войткунский ? Гидромеханика / ? Войткунский, Ю.И. Фадеев, К.Н. Федяевский. М.: Судостроение, 1982. 456 с.

11. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика. 2-е изд., перераб. и доп. / Б.Т. Емцов. М.: Машиностроение, 1987. 440 с.

12. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика / Н.Я. Фабрикант. М.: Наука, 1964. 816 с.

13. Яблонский В.С. Краткий курс технической гидромеханики: учеб. пособие для вузов / В.С. Яблонский. М.: Гос. изд-во физ-мат. лит-ры, 1961. 356с.

14. Самойлович Г.С. Сборник задач по гидромеханике / Г.С. Самойлович, В.В. Нитусов. М.: Машиностроение, 1986. 152 с.

15. Патрашев А.Н. Прикладная гидромеханика / А.Н. Патрашев, Л.А. Кивако, С.И. Гожий. М.: Воениздат, 1970. 688 с.

Оглавление

Введение................................................................................................... 3

1. Основные определения................................................................... 4

1.1. Два метода изучения движения жидкости............................... 4

1.2. Установившееся и неустановившееся движение.................. 6

1.3. Линии тока. Свойство линий тока............................................. 6

1.4. Трубка тока. Элементарная струйка........................................ 8

1.5. Потоки равномерные и неравномерные, напорные

и безнапорные.............................................................................. 8

1.6. Пространственнее и плоские (двумерные) потоки................ 9

2. Ускорение жидкой частицы.......................................................... 10

3. Уравнение неразрывности для элементарной струйки...... 11

4. Элементы потока............................................................................. 13

5. Уравнение неразрывности для потока..................................... 14

6. Средняя скорость. Изменение скорости вдоль потока....... 15

7. Уравнение неразрывности в дифференциальной форме. 18

8. Общий характер движения жидкой частицы........................... 19

9. Потенциальное движение............................................................. 20

9.1. Условия существования потенциального движения.

Потенциал скорости.................................................................. 21

9.2. Уравнения Лапласа для потенциала скорости.................... 23

10. Вихревые движения жидкости......................................................

Дополнительная часть...........................................................................

Д.1. Уравнения линий тока...................................................................

Д.2. Плоские течения.............................................................................

Д.2.1. Функция тока.......................................................................

Д.2.2. Сетка течения плоского потенциального потока

несжимаемой жидкости...............................................................

Теорема о вихрях.....................................................................................

Литература..................................................................................................