Міра Лебега в .

Можна показати, що клас усіх піввідкритих паралелепіпедів простору разом з порожньою множиною утворює півкільце множин без одиниці. Зокрема та є, відповідно, півкільце усіх півінтервалів в та усіх піввідкритих прямокутників , в разом із . Можна переконатися в тому, що функція така, що і , , є -скінченна міра на півкільці . Цю міру, внаслідок відомої теореми, можна єдиним способом продовжити до міри , визначеної на кільці , причому для кожної множини із , якщо . Якщо є зовнішня міра, що породжена мірою , то в результаті стандартного продовження міри , як це випливає із теореми, що справедливі в загальному випадку, клас усіх –вимірних множин із являє собою -алгебру множин із одиницею , а функція є міра на .

Означення. Множини із –алгебри називаються множинами вимірними за Лебегом, а функція , така, що , називається мірою Лебега в або продовженням міри із півкільця на -алгебру за Лебегом.

Зрозуміло, що можна розглядати одномірну (лінійну), двомірну (плоску) міри Лебега і т.д. Всі факти, які раніше були відмічені для міри, породженої зовнішньою мірою, яка породжена довільною мірою, визначеною на півкільці, справедливі зокрема і для міри Лебега в .Із вказаних загальних тверджень випливає, що .

Отже, всі борелеві множини із є вимірні за Лебегом. Зокрема вимірні за Лебегом всі відкриті та замкнуті множини із і їх скінченні або зчисленні об’єднання та перетини, всі найможливіші паралелепіпеди (відкриті, замкнуті, піввідкриті, обмежені і необмежені і т.д). При цьому значення лебегової міри обмеженого паралелепіпеда дорівнює добутку усіх його вимірів. Кожна скінченна та кожна зчисленна множини точок із вимірні за Лебегом і значення їх лебегової міри дорівнює 0. Звичайно, що існують вимірні за Лебегом множини із , що не є борелевими множинами.

Значення Лебегової міри кожної відкритої непорожньої множини із дорівнює сумі (скінченій або нескінченній) довжин усіх її складових інтервалів.

Як впливає із загальних положень, достатньою умовою вимірності множини , , за Лебегом є вимога .

Як можна показати, вказана вище множина є вимірна за Лебегом тоді і лише тоді, коли .

Сігма-алгебра є достатньо широкий клас множин, як це впливає із попереднього, але при кожному в просторі існують (навіть обмежені) множини, що не є вимірними за Лебегом. В такі множини можна побудувати наступним способом. Всі точки довільної вимірної за Лебегом множини , розіб’ємо на класи, що попарно не перетинаються, віднісши дві точки та із до одного класу тоді і лише тоді коли .Це можна зробити наступним способом: кожній точці із поставимо у відповідність клас , що складається із усіх таких точок множини , які мають вигляд , де ; зокрема . Можна показати, що будь-які два класи та , , або повністю співпадають (тоді ми їх не будемо розрізняти) або не перетинаються. Вибравши довільним чином із кожного такого класу по одній точці, дістанемо множину , яка, як можна показати, не є вимірна за Лебегом. Отже, кожна вимірна за Лебегом множина , така, що , включає підмножину, яка не є вимірною за Лебегом.

Зауваження. Зазначимо, що деякі автори терміни продовження міри за Лебегом, вимірність множини за Лебегом, міра Лебега використовують не лише при розгляді цих понять в метричному просторі , але і тоді, коли розглядається стандартне продовження довільної міри , визначеної на півкільці , при довільній непорожній множині .

§1.9 Міра Жордана в

В математичному аналізі й інших розділах математики часто використовується міра, що будується наступним способом. Нехай є міра на півкільці усіх піввідкритих паралелепіпедів із , що розглянута в попередньому параграфі. Міру, що є продовженням вказаної міри із півкільця на кільце , також позначимо через , . Нагадаємо, що елементами кільця є всі найможливіші елементарні множини з тобто всі найможливіші скінченні об’єднання піввідкритих паралелепіпедів із , які попарно не перетинаються (разом з порожньою множиною).

Означення Множина , називається вимірною за Жорданом, якщо .

Позначимо

,

де - довільна множина з класу .

Числа , називаються відповідно значенням зовнішньої та внутрішньої міри Жордана множини . Очевидно, . Можна показати, що множина , , вимірна за Жорданом тоді і лише тоді, коли , і що сукупність , усіх вимірних за Жорданом множин є кільце, , , яке не є -кільце.

При цьому функція така, що , є міра визначення на кільці і вона є продовженням міри із півкільця на кільце , тобто . Міра , вказана вище, називається продовженням міри за Жорданом або мірою Жордана.

Можна показати, що кожна множина , яка вимірна за Жорданом, , є вимірна і за Лебегом , , причому значення лебегової і жорданової мір множини співпадають, . Отже, , де – -алгебра усіх множин із вимірних за Лебегом, . Однак існують множини із , що вимірні за Лебегом, але не вимірні за Жорданом, тобто . Наприклад, множина , вимірна за Лебегом, як зчисленна, але вона не є вимірною за Жорданом, оскільки . Очевидно, множину можна записати у вигляді , де і при , тобто . Одноелементні множини є вимірні за Жорданом, але їх об’єднання, яке дорівнює , не є вимірна за Жорданом множина. Це ще раз переконує в тому що, кільце , не є -кільце.