Теорема Кронекера-Капелли(критерий совместности СЛАУ)

СЛАУ совместна⇔ранг матрицы А совпадает с рангом расширенной её матрицы rangA≤rangA̅

Доказательство:

Необходимость:Если система совместна, следовательно ранг совпадает.

Пусть (1) совместна, значит существует решения ,при подстановки которых получаем верные равенства.

- верно ⇒В линейная комбинация столбцов матрицы А⇒rangA=rangA̅

Если A_r– ранг системы столбцов матрицы А, то она будет ранговой и для А̅.

Линейные оболочки столбцов А и столбцов А̅ - одинаковы ⇒ранги одинаковы.

И наоборот:

Достаточность: Пусть ранги одинаковы.

Берем А_rранговая подсистема системы столбцов матрицы А. она же будет ранговой подсистемой системы столбцов матрицы А̅, и как была так и остается линейно ⇒если мы ранговой подсистеме добавляем вектор любой подсистемы, то мы получаем систему линейно зависимую ⇒существуют такие числа (λ₁,λ₂,…,λ_r) что λ₁(α_∙1)+ λ₂(α_∙2)+…+ λ_r(α_∙r)=В ⇒упорядоченный набор чисел λ=(λ₁,λ₂,…,λ_r,0,0,0,…,0) – решение СЛАУ.

Т.е. система совместна.