Граничні теореми у схемі Бернуллі

Для наближеного обчислення ймовірності появи події А у n незалежних випробуваннях m разів схеми Бернуллі при великих n і малих р таких, що nр < 10, доцільно використовувати формулу Пуассона:

Приклад 9. Підручник надруковано тиражем 90000 примірників. Імовірність неправильного брошурування підручника дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що тираж має 5 бракованих підручників.

Розв’язання. Брошурування підручника можна розглядати як випробування, що вкладається в схему Бернуллі. Кількість випробувань n велика, а ймовірність кожного випробування р незначна. Тому в цьому разі доцільно застосувати формулу Пуассона. Згідно з умовою задачі маємо

n = 90000, р = 0,0001.

Отже, при l = np = 9 маємо

·

Локальна теорема Муавра — Лапласа. Якщо у схемі Бернуллі кількість випробувань n достатньо велика, а ймовірність р появи події А в усіх випробуваннях однакова та відмінна від нуля й одиниці, то ймовірність появи m разів події А можна знайти наближено за формулою

де — функція Гаусса,

Інтегральна теорема Муавра — Лапласа. Якщо у схемі Бернуллі кількість випробувань n достатньо велика, а ймовірність р появи події А в усіх випробуваннях однакова та відмінна від нуля й одиниці, то ймовірність появи події A не менше m₁ і не більше m₂ разів можна знайти за наближеною формулою

де — інтегральна функція Лапласа, , .

Зазначимо, що для функцій Гаусса та Лапласа складені спеціальні таблиці (див. додаток).

Приклад 10. Відомо, що 30 лампочок зі 100 на даному виробництві є бракованими. Партія лампочок у кількості 500 штук була одержана магазином для реалізації. Знайти ймовірність того, що з них бракованими виявиться:

а) 155 штук;

б) не менше 100 і не більше 200 штук.

Розв’язання. Оскільки n = 500 є достатньо великим числом, то використовувати формулу Бернуллі нераціонально. Зазначимо, що в даній задачі має місце схема Бернуллі, оскільки випуск бракованої лампочки (ймовірність дорівнює ) не залежить від того, чи були бракованими попередні.

а)Оскільки m = 155, то використаємо локальну формулу Муавра — Лапласа

У нашому випадку 0,49, j(0,49) = 0,3538. Отже,

б) Оскільки 100 £ m £ 200, то використаємо інтегральну формулу Лапласа

У нашому випадку 4,88, –4,88. Оскільки функція Лапласа є непарною, тобто Ф(–x) = –Ф(х), то Ф(–4,88) =
= –Ф(4,88) = 0,4999.

Отже, ·

Теорема Бернуллі. Якщо в n незалежних випробуваннях імовірність р появи події А однакова й подія А відбудеться m разів, то для будь-якого додатного числа e > 0 виконується рівність

тобто подія, для якої відхилення визначається формулою

при великих значеннях n майже неможлива. Тому протилежна подія

майже достовірна:

Дану формулу можна записати так:

Ці формули доцільно застосовувати за умови n > 100, npq > 20.

Приклад 11. Імовірність появи події в кожному із 625 незалежних випробувань дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що відносна частота появи події відхиляється від імовірності за абсолютною величиною не більше ніж на 0,04.

Розв’язання. За умовою задачі

n = 625; p = 0,8; q = 0,2; e = 0,04.

Потрібно знайти

За теоремою Бернуллі маємо

·

Приклад 12. Імовірність появи деякої події в кожному з незалежних випробувань дорівнює 0,5. Знайти кількість випробувань n, при якій з імовірністю 0,7698 можна очікувати, що відносна частота появи події відхилиться від її ймовірності за абсолютною величиною не більше ніж на 0,02.

Розв’язання. За умовою задачі

р = 0,5; q = 0,5; e = 0,02.

Потрібно знайти кількість випробувань n, для якої

За теоремою Бернуллі маємо

Звідси

Визначивши за додатком аргумент інтегральної функції Лапласа, при якому ця функція дорівнює 0,3849, отримаємо рівняння

Отже,

·