Дискретні випадкові величини

Випадковою величиною, пов’язаною з даним імовірнісним експериментом, називають величину, яка при кожному проведенні цього експерименту набуває певного числового значення, причому заздалегідь невідомо, якого саме.

Випадкову величину називають дискретною, якщо множина її можливих значень є скінченною або зліченною множиною.

Законом розподілу випадкової величини називають відповідність, що встановлює зв’язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними їм імовірностями.

У випадку дискретної випадкової величини закон розподілу найзручніше описувати за допомогою ряду розподілу — таблиці, де наведено всі можливі значення цієї випадкової величини та відповідні їм імовірності:

причому

Ламану з вершинами в точках (х_і, p_і) називають многокутником розподілу (рис. 1).

Рис. 1

Інший спосіб задання розподілу випадкової величини — аналітичний — зазначення її функції розподілу.

Функцією розподілу випадкової величини Х називають функцію F(х), значення якої дорівнює ймовірності того, що випадкова величина X набуде значення, яке менше х, тобто

F(х) = Р(X < x).

Найважливішими є такі типи дискретних розподілів: рівномірний, біноміальний, показниковий, геометричний, гіпергеометричний.

Біноміальний розподіл (розподіл Бернуллі) — це розподіл випадкової величини, яка набуває значень іÎ{0, 1, ..., n} з імовірностями

де рÎ(0; 1). Біноміальний розподіл має випадкова величина, яка дорівнює кількості «успіхів» у серії з n незалежних випробувань, у кожному з яких «успіх» відбувається з імовірністю р.

Рівномірний розподіл — це розподіл випадкової величини, яка набуває n різних значень з однаковими ймовірностями

Показниковий розподіл (розподіл Пуассона) — це розподіл випадкової величини, яка набуває значень kÎ{0, 1, 2, ..., n} з імовірностями

де l = np, n ® ¥, p ® 0.

Геометричний розподіл — це розподіл випадкової величини, яка набуває значень kÎ{1, 2, ...} з імовірностями

де q = 1 – p. Геометричний розподіл має випадкова величина, яка дорівнює кількості спроб до першого «успіху» в серії незалежних випробувань, у кожному з яких імовірність успіху дорівнює р.

Гіпергеометричний розподіл — це розподіл випадкової величини, яка набуває значень kÎ{0, 1, ..., m} з імовірностями

де n ³ m, N ³ n.

Гіпергеометричний розподіл має така випадкова величина. Нехай у ящику міститься N однакових за фізичними властивостями кульок, серед яких S білих і (N – S) чорних. З ящика навмання виймається m кульок. Тоді випадкова величина X, яка дорівнює кількості білих кульок серед m вийнятих, має гіпергеометричний розподіл.

Приклад 13. Нехай випадкова величина X дорівнює кількості номерів, угаданих гравцем у лотереї «6 із 39». Побудувати ряд розподілу випадкової величини X. Знайти значення функції розподілу в точці x = 3.

Розв’язання. Випадкова величина X має гіпергеометричний розподіл. Справді, процес розіграшу можна змоделювати так: у лототроні (ящику) міститься N = 39 однакових за фізичними властивостями кульок, серед яких S = 6 «білих» (так можна називати кульки, які в результаті розіграшу випадуть) і
N – S = 33 «чорних». Вважатимемо, що кульки добре перемішані. Тому можна вважати, що з 39 кульок навмання виймається m = 6 шт. Тоді X — це кількість «білих» кульок серед шести вибраних (це номери, які загадані гравцем).

Очевидно, випадкова величина X набуває значень від 0 до 6, причому

Виконавши підрахунки для і = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, отримаємо:

X
P

Значення функції розподілу Р(х) випадкової величини X у точці х = 3

F(3) = Р(X < 3) = Р(X = 0 або X = 1 або X = 2) =
= P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2).

Іншими словами, імовірність нічого не виграти, заповнивши один лотерейний квиток, дорівнює

+ + = » 0,9641. ·

Числовими характеристиками випадкової величин є математичне сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення.

Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називають число, яке дорівнює сумі всеможливих добутків значень випадкової величини та їх імовірностей:

Математичне сподівання має такі властивості.

Властивість 1. М(С) = С, де С = const.

Властивість 2. M(kX) = kM(X).

Властивість 3. M(X + Y) = M(X) + M(Y).

Властивість 4. M(XY) = M(X) · M(Y), де X і Y — незалежні випадкові величини.

Дисперсією випадкової величини називають математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання:

D(X) = M(X – M(X))².

Дана формула еквівалентна формулі

D(X) = M(X²) – (M(X))².

Дисперсія має такі властивості:

Властивість 1. D(X) ³ 0.

Властивість 2. D(C) = 0, C = const.

Властивість 3. D(kX) = k² · D(X).

Властивість 4. D(X + Y) = D(X) + D(Y), де X і Y — незалежні випадкові величини.

Для дискретної випадкової величини дані формули можна записати так:

, .

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини називають число s(X) = .

Дисперсія та середнє квадратичне відхилення характеризують ступінь розсіювання значень випадкової величини навколо її математичного сподівання.

Приклад 14. Норма прибутку акцій є випадковою величиною, закон розподілу якої є таким:

Знайти сподівану норму прибутку, а також середнє квадратичне відхилення даної випадкової величини.

Розв’язання.

s(X) = ·