Формула Бернуллі

Нехай проводиться п незалежних випробувань, причому ймовірність появи події А в кожному випробуванні одна й та сама, тобто не залежить від її появи в інших випробуваннях. Таку серію повторних незалежних випробувань називають схемою Бернуллі. Прикладом повторних незалежних випробувань є підкидання монети певну кількість разів, стрільба по мішені тощо.

Нехай випадкова подія А може відбутися в кожному випробуванні з однаковою ймовірністю Р(A) = р або не відбутися з імовірністю q = 1 – p. Імовірність того, що при n випробуваннях подія А відбудеться m разів, визначається за формулою Бернуллі:

(8)

Імовірність появи події А в n випробуваннях m разів, де число m перебуває між числами k₁ і k₂, 0 £ k₁ £ k₂ £ n, знаходиться за формулою

Р_n(k₁ £ m £ k₂) = Р_n(k₁) + Р_n(k₁ + 1) + ... + Р_n(k₂).

Імовірність появи події А в n випробуваннях хоча б один раз

Р_n(1 £ m £ n) = 1 – qⁿ.

Найімовірніша кількість m₀ появи події А в n випробуваннях визначається з нерівностей

n · p – q £ m₀ £ n · p + p.

Якщо ймовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює р, то кількість n випробувань, які необхідно здійснити, щоб з ймовірністю Р можна було стверджувати, що подія А відбудеться хоча б один раз, обчислюється за формулою

Приклад 8. Прилад складено з 10 блоків, надійність кожного з яких 0,8. Блоки можуть виходити з ладу незалежно один від одного. Знайти ймовірність того, що:

а) відмовлять два блоки;

б) відмовить хоча б один блок;

в) відмовлять не менше двох блоків.

Знайти найімовірнішу кількість блоків, що вийдуть з ладу.

Розв’язання. Позначимо подію А= {відмова блока}. Тоді

Р(A) = р = 1 – 0,8 = 0,2.

Тому q = 0,8. За умовою задачі n = 10. Застосувавши формулу Бернуллі (8) та наслідки з неї, матимемо:

а)