Основні формули додавання і множення ймовірностей

Імовірність суми двох довільних випадкових подій А і В дорівнює сумі їх імовірностей без імовірності їхнього добутку, тобто

Р(A + В) = Р(А) + Р(В) – Р(A · B).

Якщо події А і В несумісні, то Р(А · В) = 0. Тоді

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Якщо випадкові події A₁, А₂, ..., A_n попарно несумісні, то ймовірність появи хоча б однієї з цих подій дорівнює сумі їх імовірностей:

Р(А₁ + А₂ + ... + А_n) = Р(A₁) + Р(A₂) + ... + _Р(А_n).

Сума ймовірностей випадкових подій А₁, А₂, ..., А_n, які утворюють повну групу, дорівнює одиниці, тобто

Р(А₁) + Р(А₂) + ... + Р(А_n) = 1.

Зокрема, для протилежних подій А і виконується рівність

Випадкові події А та В називають залежними, якщо ймовірність появи однієї з них залежить від появи або непояви іншої. В іншому випадку події А та В називають незалежними.

Імовірність події В, обчислена за умови появи події А, називають умовною ймовірністю події В (за умови появи події А) і позначають Р(В/А) або Р_А(В).

Якщо події А та В незалежні, то Р_А(В) = Р(В), і навпаки, Р_В(А) = Р(A).

Імовірність добутку двох випадкових подій А і В дорівнює добутку ймовірності однієї з цих подій на умовну ймовірність іншої події за умови, що перша подія відбулася, тобто

Р(A · В) = Р(А) · Р(В/А) = Р(В) · Р(А/В)

або

Р(A · В) = Р(А) · Р_А(В) = Р(В) · Р_B(А).

Якщо події незалежні, то

Р(A · В) = Р(А) · Р(В).

Нехай є n незалежних випадкових подій А₁, А₂, ..., А_n. Імовірність появи хоча б однієї з цих подій визначається за формулою

Р(A₁ +А₂ + ... + А_n) =

Приклад 5. Мішень складається з трьох областей. Імовірність влучення стрільцем у першу область мішені дорівнює 0,45, у другу область — 0,35, у третю — 0,15. Яка ймовірність того, що при одному пострілі стрілець влучить: а) у першу або в другу область; б) не влучить у мішень?

Розв’язання. Уведемо позначення:

подія А₁ = {влучення в першу область};

подія А₂ = {влучення в другу область};

подія А₃ = {влучення в третю область};

подія А₄ = {невлучення в мішень}.

Тоді Р(A₁) = 0,45; Р(A₂) = 0,35; Р(A₃) = 0,15.

а) При одному пострілі події А₁, А₂, А₃ несумісні. Тому

Р(A₁ + А₂) = Р(А₁) + Р(А₂) = 0,45 + 0,35 = 0,8.

б) Події A₁, А₂, А₃, А₄ попарно несумісні та утворюють повну групу випадкових подій. Тому

Р(A₁) + Р(А₂) + Р(А₃) + Р(A₄) = 1.

Отже,

Р(A₄) = 1 – Р(A₁) – Р(A₂) – Р(A₃) = 1 – 0,45 – 0,35 – 0,15 = 0,05. ·

Приклад 6. Робітник обслуговує одночасно три верстати. Імовірність порушення протягом години для першого верстата дорівнює 0,1, для другого — 0,15, для третього — 0,2. Яка ймовірність того, що: а) усі три верстати працюватимуть протягом години; б) хоча б один з них не вийде з ладу?

Розв’язання. А₁ = {перший верстат працюватиме протягом години}; А₂ = {другий верстат працюватиме протягом години}; А₃ = {третій верстат працюватиме протягом години}.

а) Позначимо подію A = {усі три верстати працюватимуть протягом години}. Тоді А = А₁ · А₂ · А₃. Події А₁, А₂, А₃ є незалежними, тому Р(A) =
= Р(А₁ · А₂ · А₃) = Р(А₁) · Р(А₂) · Р(А₃) = (1 – 0,1) · (1 – 0,15) · (1 – 0,2) = 0,612.

б) В = {хоча б один з трьох верстатів не вийде з ладу}. Тоді В = А₁ + А₂ + А₃. Події А₁, А₂, А₃ є сумісними, тому скористатися теоремою про суму сумісних подій ми не можемо, оскільки вона має місце лише для двох сумісних подій. Через це представимо подію В як Події, що є доданками даної суми, є вже між собою несумісними. Тому ймовірність суми несумісних подій дорівнює суми їх ймовірностей. Проте даний спосіб є нераціональним, тому запропонуємо інший. Подія = {усі три верстати вийдуть з ладу} є протилежною до події В. Тому ·