Граничні умови I – IV роду

Граничні умови I роду, задаються розподілом температури за поверхнею S тіла в будь-який момент часу

T(x,y,z,t)½_s = j(x,y,z,t) = T_s, x,y,z Î S (2)

Граничні умови 1 роду реалізуються в задачах теплопровідності якщо на поверхні тіла підтримується заданий режим зміни температури, чи при інтенсивному теплообміні з навколишнім середовищем, коли температура поверхні тіла близька до температури середовища. Коло практичних задач, у яких можна використовувати умови 1 роду, вкрай обмежене, вони є, по суті справи, математичною ідеалізацією реальних фізичних умов і тому застосовуються, в основному, при оціночних розрахунках.

Граничні умови II роду задаються густиною теплового потоку на поверхні тіла як функції координат точок поверхні і часу, тобто

q(x,y.z.t)½_s = q_s = y(x,y,z,t), x,y,z Î S (3)

Відповідно до закону Фур'є умову (3) можна переписати у вигляді

- ½_s = y(x,y,z,t), x,y,z Î S, (4)

де n - внутрішня нормаль до поверхні S.

Якщо функція y тотожно дорівнює нулю, співвідношення (4) називають умовою адіабатичності: ½_S = 0.

На практиці умови теплообміну другого роду мають місце при нагріванні тіл високотемпературними джерелами теплоти, наприклад, у муфельних печах, коли теплообмін в основному відбувається за допомогою випромінювання за законом Стефана - Больцмана, а температура тіла, що нагрівається, значно менше температури випромінюючих поверхонь.

Граничні умови III роду задаються густиною теплового потоку на поверхні тіла як функції температур поверхні тіла і навколишнього середовища.

У випадку конвективного охолодження (нагрівання) поверхні тіла деякою рідиною густина теплового потоку визначається відповідно до закону Ньютона:

q_s = ±a×(T_s – T_c), (5)

де a - коефіцієнт пропорційності, названий коефіцієнтом тепловіддачі і вимірюваний у Вт/(м²×К).

Коефіцієнт тепловіддачі чисельно дорівнює кількості теплоти, що віддається (одержується) одиницею площі поверхні тіла в одиницю часу при різниці температур між поверхнею і середовищем в один градус, і характеризує інтенсивність теплової взаємодії середовища з поверхнею тіла.

Умови III роду використовуються в багатьох задачах дослідження теплообміну у твердих тілах, обтічних рідиною чи газом. Використовуючи закон Фур'є, останню рівність можна переписати в наступному виді:

- ½_s = a×(T_s – T_c) (6)

Співвідношення (6) є найбільш часто уживаним аналітичним виразом граничних умов III роду. Коефіцієнт тепловіддачі a у цій умові не є фізичною сталою, характерною для тієї чи іншої речовини. У загальному випадку він відображає спільну дію теплопровідності, конвекції і радіації, причому кожна із складових a, що відповідає даному способу теплообміну, залежить від багатьох факторів. Наприклад, конвективна частина a_к залежить від геометрії і розмірів тіла, режиму обтікання, фізичних властивостей середовища, розподілу швидкостей у тілі, що обтікає, потоці, температури середовища.

У багатьох (порівняно простих випадках коефіцієнт тепловіддачі в першому наближенні можна вважати постійним. Однак для більшості більш складних задач таке допущення вже не вірно. Тому при використанні граничних умов (6) для рішення задач про теплообмін між тілом і навколишнім середовищем виникає питання: як визначити коефіцієнт a стосовно до конкретних умов розглянутого процесу ? Відповісти на це питання найчастіше буває набагато важче, ніж вирішити вихідну задачу про визначення температурного поля при відомому a. Уся складність дослідження теплообміну в цьому випадку зосереджується на методі визначення коефіцієнта тепловіддачі.

При розгляді деяких нестаціонарних задач конвективного теплообміну використання закону Ньютона при постановці граничних умов взагалі неприпустиме. У цьому випадку доводиться розглядати температурні поля тіла і рідини спільно, тобто, формулювати задачу як спільну. Такий підхід приводить до постановки на границі між тілом і рідиною умов сполучення, названих граничними умовами IV роду, що будуть розглянуті нижче. Відзначимо, що спільна постановка задачі з використанням граничних умов IV роду відповідає реальним процесам теплообміну, які відбуваються на границі тіло-рідина в набагато більшому ступені, чим закон Ньютона, тобто фізично більш обґрунтовано.

Граничні умови IV роду (сполучення) задаються на границі між тілом і навколишнім середовищем (при конвективному теплообміні) чи на границі дотичних твердих тіл і відображають рівність температур і густини теплових потоків на границі розподілу. У загальному випадку граничні умови IV роду можна записати у виді:

, (7)

де q = q(x,y,z,t) – поверхнева густина джерел теплоти на границі S; T₁,T₂,l₁, l₂ – відповідно температури і теплопровідності дотичних середовищ..

Граничні умови IV роду широко застосовуються при рішенні задач металургії, авіаційної і космічної техніки, розрахунку різних багатошарових конструкцій. Відзначимо, що в реальних умовах теплообмін між контактуючими тілами може здійснюватися не тільки теплопровідністю, але і конвекцією, тепловим випромінюванням, що вимагає використання більш складних умов сполучення, що враховують ці явища.

Інші види граничних умов. Розглянемо граничні умови, що використовуються при рішенні задач з фазовими переходами. Такі задачі виникають при вивченні процесів кристалізації, плавлення, горіння та ін.

Нехай S – рухома границя розподілу фаз, L - питома теплота фазових перетворень, що виділяється на границі S. Індексами 1 і 2 позначимо параметри, що відносяться до рідкої і твердої фаз. Тоді граничні умови на рухливій границі запишуться в такий спосіб

, (8)

де n – нормаль до поверхні S: Т_ф = Т_ф(x,y,z,t) – температура фазових перетворень.

У випадку, коли швидкість руху границі S ═ S(x,y,z,t) невідома, розглянута задача теплопровідності стає істотно нелінійною і для її рішення необхідно використовувати спеціальні методи, головним чином чисельні.

Задачі теплопровідності з нелінійними граничними умовами типу (3) чи (6), коли a є функцією температури звичайно називають задачами з зовнішньою нелінійністю.