Виведення рівняння теплопровідності для нерухомих тіл

Аналітичне вивчення процесів теплопровідності неможливе без встановлення залежності між фізичними величинами, які характеризують ці процеси і є функціями просторових координат і часу. Математичне вираження цієї залежності, що має форму диференціального рівняння, називають основним диференціальним рівнянням теплопровідності. Воно характеризує протікання процесу теплопровідності в будь-якій точці тіла в будь-який момент часу і дає залежність між температурою, часом і координатами довільного елементарного об’єму. Диференціальне рівняння теплопровідності є наслідком закону збереження енергії і закону теплопровідності Фур'є.

Припустимо, що розглянуте тіло нерухоме, процес теплопровідності нестаціонарний, а температурні деформації елементарного об’єму дуже малі в порівнянні з об’ємом.

Розглянемо нескінченно малий об’єм dx dy dz у прямокутній системі координат O_xyz (Рис.1). Через грань dydz до поверхні елементарного об’єму за час dt уздовж осі O_x підводиться кількість теплоти dQ_x, що визначається рівністю

dQ_x = qx×dy×dz×dt (1)

Через протилежну грань x + dx відводиться кількість теплоти
dQ_x+dx. Розкладемо функцію dQ_x+dx у ряд Тейлора, залишивши тільки два перших члени розкладу:

dQ_x+dx = dQ_x + … (2)

Підрахуємо різницю між кількістю теплоти, підведеної за рахунок теплопровідності до елементарного об’єму за час dt уздовж осі Ох і кількістю теплоти, відведеної від нього за цей же час уздовж осі Ох:

dQ_x - dQ_{x +dx} = - (q_x)×dx×dy×dz×dt (3)

Рисунок 1– Схема до виведення диференціального рівняння теплопровідності

Аналогічним чином записується зміна кількості теплоти уздовж осей Oy, Oz

dQ_y - dQ_{y +dy} = - (q_y)×dx×dy×dz ×dt,

dQ_z - dQ_{x + dz} = - (q_z)×dx×dy×dz×dt (4)

Склавши рівності (3) і (4), одержимо різницю між загальною кількістю підведеної і відведеної теплопровідністю теплоти за час dt через поверхню елементарного об’єму:

dQ₁ = - (5)

Отже, до елементарного об’єму за час dt, підведена за рахунок теплопровідності кількість теплоти dQ₁, яка обумовлена рівністю (5).

Усередині тіла може виділятися чи поглинатися теплота в результаті, наприклад, хімічних перетворень, випаровування вологи, дії електричного струму та інше. Тобто в тілі можлива наявність об'ємних джерел (стоків) теплоти. Позначимо q_v потужність внутрішніх джерел теплоти (її ще називають об'ємною густиною теплового потоку), що визначається як кількість теплоти, яка виділяється ( поглинається) внутрішніми джерелами (стоками) за одиницю часу в одиниці елементарного об’єму середовища.

Припустимо, що q_v є відома функція координат і часу q_v=q_v(x, y, z, t), тоді кількість теплоти, виділена в елементарному об’ємі внутрішніми джерелами теплоти за час dt

dQ₂ = q_v×dx×dy×dz×dt (6)

Акумульована в елементарному об’ємі за рахунок теплопровідності теплота dQ₁, а також виділена об'ємними джерелами теплота dQ₂, відповідно до закону збереження енергії, витрачається на збільшення внутрішньої енергії , якщо процес протікає при постійному об’ємі V, або на збільшення ентальпії Н, якщо процес протікає при постійному тиску. Складемо рівняння теплового балансу за час dt для елементарного об’єму dxdydz в кожному з цих випадків: при ізохорному процесі (V = const).

dQ₁ + dQ₂ = d ; (7)

при ізобарному процесі ( p = const)

dQ₁ + dQ₂ = dH (8)

Вважаючи внутрішню енергію одиниці об'єму функцією об’єму і температури, одержуємо

= C_v× , (9)

де - ізохорна теплоємність одиниці маси, Дж/кг×К;

r - густина речовини, кг/м³;

С_v – ізохорна теплоємність одиниці об'єму, Дж/м³×К.

Підставляючи вираз для з (9) у рівність (7) і враховуючі (5,5), (6), знаходимо

(10)

Оскільки q_x/ x + q_y/ y + q_z/ z = div , перепишемо (10) у вигляді

(11)

У випадку ізобарного процесу, розглядаючи ентальпію одиниці об'єму Н як функцію температури і тиску, можна одержати:

(12)

де - ізобарна теплоємність одиниці маси, Дж/(кг×К);

С_р – ізобарна теплоємність одиниця об'єму Дж/(м³×К);

Підставляючи (12) у (7) і використовуючи рівності (5), (6), одержуємо:

(13)

Вираз (11), (13) є диференціальними рівняннями енергії відповідно для ізохорного та ізобарного процесів. Для твердих тіл близькі, тому можна прийняти . Величину С_v називають ще об'ємноютеплоємністю. Використовуючи закон Фур'є, запишемо рівняння (13) у вигляді:

C_v× (14)

чи при l = const:

(15)

Рівняння (15) називають диференціальним рівняннямтеплопровідності. Воно встановлює зв'язок між зміною температури будь-якої точки тіла в просторі і часі. При виведенні рівняння (15) була використана декартова система координат, а елементарний об’єм вибирали у формі паралелепіпеда. Однак можна одержати диференціальне рівняння теплопровідності більш загальним способом у довільній системі координат, використовуючи формулу Остроградського-Гаусса.

Виділимо в деякому середовищі, де здійснюється процес теплопровідності, довільний об’єм V, обмежений поверхнею S. Кількість теплоти, що проходить в одиницю часу через поверхню S, відповідно до закону Фур'є

dQ₁ = - l×grad TdS (16)

За рахунок внутрішніх джерел виділиться кількість теплоти

dQ₂ = (17)

Теплота, акумульована теплопровідністю і виділена внутрішніми джерелами в одиницю часу, викликає зміну внутрішньої енергії об’єму V на величину

d = (18)

Відповідно до закону збереження енергії

dQ₁ + dQ₂ = d

чи відповідно до формул (16) – (18)

(19)

Перетворимо поверхневий інтеграл у правій частині рівності (19) в інтеграл за об'ємом, використовуючи формулу Остроградського-Гаусса:

(20)

Тоді рівняння (19) прийме вигляд

(21)

У силу довільного вибору об’єму V, з (12) витікає рівняння

, (22)

яке є найбільш загальною формою запису основного диференціального рівняння теплопровідності. При цьому передбачається, що l, C_V , q_v можуть бути довільними функції температури чи координат і часу.

У багатьох практичних випадках теплопровідність мало залежить від температури і її можна вважати постійною. Тоді рівняння (22) значно спроститься

(23)

Коефіцієнт пропорційності в рівнянні (23) називається температуропровідністю і виміряється в м²/с. Зупинимося на фізичному змісті температуропроводності. Можна показати, що дорівнює кількості теплоти, яка протікає в одиницю часу через одиницю поверхні при перепаді об'ємної концентрації внутрішньої енергії або ентальпії в 1 Дж/м³ на одиницю довжини нормалі, тобто температуропроводність є коефіцієнтом дифузії внутрішньої енергії при V = const чи ентальпії при Р = const. У зв'язку з чим розрізняють температуропроводність при постійному об’ємі і температуропроводність при постійному тиску . Для твердих тіл ².

Можна надати температуропроводності й інший фізичний зміст. З рівняння (23) видно, що при q_v =0 швидкість зміни температурного поля залежить від однієї фізичної величини – температуропроводності , а саме похідна прямо пропорційна величині . Величина, обернена температуропроводності , характеризує інерційні властивості тіла у відношенні поширення температурного поля.

Одним з найбільш теплоінерційних тіл є вода, її температуропроводність при T = 363 К та тиску P = 0,1 МПа дорівнює:

.

Гази володіють малою тепловою інерцією, наприклад, для повітря за тих самих умов

Температуропроводність, так само як l і С_v залежить від температури, а температуропроводність пористих і порошкоподібних тіл – від щільності і вологості. Однак для ряду задач у першому наближенні можна вважати постійною величиною.