Критерий устойчивости Гурвица

Задача отыскания критерия устойчивости для систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, была сформулирована Максвеллом в 1868 году. Эта задача была впервые решена в алгебраической форме Раусом в 1873 году для уравнений четвертой нанятой степени и в 1877 году — полностью.

Поскольку критерий Рауса дан в форме алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых для решения задачи, использование его в практике является неудобным. Поэтому боль­шее распространение получил алгебраический критерий устойчивости, сформулированный в 1895 году математиком А. Гурвицем. Этот критерий был найден Гурвицем по просьбе словацкого профессора Стодолы, занимавшегося исследованием процесса регулирования турбин.

Ниже критерий Гурвица приводится без доказательства.

Для характеристического уравнения (6.9) составим квадратную матрицу (таблицу) коэффициентов, содержащую п строк и п столбцов:

(6.11)

Эта таблица составляется следующим образом.

По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов выписывают­ся все коэффициенты по порядку от до а_п. Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а также если индекс его меньше нуля или больше п, на месте его пишется нуль.

Критерий устойчивости сводится к тому, что при а₀ > 0 должны быть больше нуля все n определителей Гурвица, получаемых из квадратной матри­цы коэффициентов.

Определители Гурвица составляются по следующему правилу (см. (6.11)):

(6.12)

, (6.13)

, (6.14)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель Гурвица выражается через предпоследний сле­дующим образом:

(6.15)

Однако в устойчивой системе предпоследний определитель тоже должен быть положительным. Поэтому условие положительности последнего опреде­лителя сводится к условию а_п >0, т. е. к положительности свободного члена характеристического уравнения.

Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравнивая нулю последний определитель: = 0, при положительности всех остальных определителей. Как следует из (6.15), это условие распадает­ся на два условия: а_п = 0 и = 0. Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодическая граница устойчивости) и вто­рое — границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчи­вости).

Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке крите­рия устойчивости Гурвица, можно получить в виде частных случаев критерии устойчивости для системы первого, второго, третьего, четвертого и более высоких порядков.

1. Уравнение первого порядка

а_ор + а₁ = 0.

Для этого уравнения критерий Гурвица дает

,

т. е. коэффициенты характеристического уравнения должны быть положи­
тельными.

2. Уравнение второго порядка

а₀р² + а₁р + а₂ = 0.

Для этого уравнения критерий Гурвица требует

,

Последний определитель, как отмечалось выше, сводится к условию положительности последнего коэффициента: а₂ > 0.

Таким образом, и для уравнения второго порядка необходимым и доста­точным условием устойчивости является положительность всех коэффициен­тов характеристического уравнения.

3. Уравнение третьего порядка

Для этого уравнения получаем условия

,

Третий (последний) определитель дает условие а₃ > 0. Условие >0 при а₀ > 0, а₁ >0 и а₃ > 0 может выполняться только при а₂ > 0.

Следовательно, для уравнения третьего порядка уже недостаточно положительности всех коэффициентов характеристического уравнения. Тре­буется еще выполнение определенного соотношения между коэффициентами: а_ха₂ >а_оа₃.

4. У р а в н е н и е ч е т в е р т о г о п о р я д к а

.

На основании критерия Гурвица можно получить, что для уравнения четвертого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, требуется выполнение условия

5. Уравнение пятого порядка

Для уравнения пятого порядка, кроме положительности всех коэффи­циентов, должны выполняться еще два условия:

Как видно, уже для уравнения пятой степени условия устойчивости по критерию Гурвица получаются достаточно громоздкими. Поэтому исполь­зование этого критерия практически ограничивается уравнениями четвертого порядка.

Существенным недостатком критерия Гурвица является также то, что

для уравнений высоких порядков в лучшем случае можно получить ответ о том, устойчива или неустойчива си­стема автоматического регулирования. При этом в случае неустойчивой системы критерий не дает ответа на то, каким образом надо изменить параметры си­стемы, чтобы сделать ее устойчивой. Это обстоятельство привело к поискам других критериев, которые были бы бо­лее удобными в инженерной практике.

Для иллюстрации применения кри­терия Гурвица рассмотрим пример на определение устойчивости дистанционной следящей системы. Принципи­альная и структурная схемы изображены на рис.6.4. В качестве чувстви­тельного элемента использованы два сельсина (СД и СП), включенные по трансформаторной схеме. Передаточная функция сельсинов равна коэффи­циенту передачи схемы:

,

где - ошибка, равная разности углов поворота командной и испол­нительной осей.

Передаточная функция усилителя:

,

где к₂ — коэффициент усиления и Т_у — постоянная времени усилителя. Передаточная функция двигателя (Д):

,

где к₃ - коэффициент передачи двигателя по скорости, а Т_м—электромеханическая постоянная времени двигателя совместно с оконечным каска­дом усилителя.

Передаточная функция редуктора (Р) равна его коэффициенту передачи, определяемому передаточным отношением:

Так как цепь регулирования состоит из включенных последовательно звеньев, то передаточная функция разомкнутой цепи будет равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:

где К = - общий коэффициент усиления разомкнутой цепи.

Характеристическое уравнение:

После подстановки W(p) получаем

В данном случае характеристическое уравнение имеет третий порядок. Нетрудно видеть, что условие положительности всех коэффициентов выпол­няется всегда, если выполнено условие К > 0, что будет при правильном согласовании направления вращения двигателя со знаком рассогласования.

Дополнительное условие накладываемое на коэффициенты характеристического уравнения, сводится при подстановке значений коэффициентов (а₀ = Т_УТ_М , к неравенству

которое и является условием устойчивости рассматриваемой системы.

Из этого неравенства, в частности, можно заметить, что увеличение каждой постоянной времени сказывается отрицательно на устойчивости системы, так как при этом снижается предельное значение общего коэффи­циента усиления К, при котором система еще остается устойчивой.