Законы регулирования. Под законом регулирования или — в более общем случае — законом управления понимается алгоритм или функциональная зависимость

Под законом регулирования или — в более общем случае — законом управления понимается алгоритм или функциональная зависимость, в соответствии с которыми управляющее устройство формирует управляющее воздействие и(t). Эта зависимость может быть представлена в виде

u(t)=F(x,g,f), (5.29)

где F — некоторая, в общем случае нелинейная, функция от ошибки х задающего воздействия g и возмущающего воздействия f, а также от их производных и интегралов по времени.

Формула (5.29) обычно может быть записана следующим образом:

и (t) = F₁ (x) + F₂ (g) + F₃ (f). (5.30)

Первое слагаемое (5.30) соответствует регулированию по отклонению (принцип Ползунова — Уатта), второе и третье — регулированию, по внешнему воздействию (принцип Понселе).

Здесь мы рассмотрим только линейные законы, когда управляющее устройство вырабатывает величину и (t) в функции ошибки в соответствии с линейной формой

(5.31)

или в операторной записи

(5.32)

Регулирование по внешнему воздействию будет рассмотрено в § 9.2.

Предположим вначале, что регулируемый объект представляет собой звено статического типа. Это означает, что в установившемся состоянии между регулируемой величиной и управляющим воздействием существует пропорциональная зависимость, вытекающая из при равенстве нулю возмущающих воздействий:

,

где k₀ = W₀ (0) — коэффициент передачи объекта.

1. Пропорциональное регулирование.В случае пропорционального регулирования выражение для простейшей безынерционной цепи регулирования (см. рис. 5.1) приобретает вид

и (t) = W_peг (р) х (t) = k₁x (t). (5.33)

Передаточная функция W_рег (р)может иметь более сложный вид, например:

где А (р) и В (р) — некоторые полиномы от оператора р.

Однако существенным здесь является то обстоятельство, что цепь регулирования представляет собой позиционное (статическое) звено и при передаточная функция , где — коэффициент передачи цепи регулирования(заметим, что режим соответствует установившемуся режиму, так как приравнивание оператора дифференцирования нулю означает приравнивание нулю всех производных.)

В связи с изложенным здесь и далее ради облегчения анализа рассматривается упрощенное выражение (5.33), которое является справедливым, по крайней мере, для медленных изменений величины х.

Передаточная функция разомкнутой системы

W(_P) = W_рег (p) ·W₀ (p) = k₁·W0 (p).

В установившемся состоянии передаточная функция стремится к значению

. (5.34)

Эта величина называется общим коэффициентом усиления разомкнутой системы. Коэффициент усиления является безразмерной величиной, так же как и передаточная функция разомкнутой системы. Это вытекает из соотношения .

Коэффициент усиления разомкнутой цепи (рис. 5.1) физически представляет собой отношение установившегося значения регулируемой величины к постоянному значению ошибки х = х₀, если цепь регулирования совместно с регулируемым объектом рассматривать как некоторый усилитель, на входе которого действует сигнал в виде ошибки х, а на выходе — усиленный сигнал у. Таким образом, для коэффициента усиления можно записать

Для установившегося состояния замкнутой системы при постоянном задающем воздействии g = g₀ из формулы

(5.16)

может быть получено следующее соотношение:

, (5.35)

где — установившаяся (статическая) ошибка, — установившееся значение ошибки от возмущающих воздействий в объекте без регулирования.

Таким образом, пропорциональное регулирование позволяет уменьшить установившиеся ошибки в объекте в 1+К раз. Регулирование в этом случае получается статическим, так как при любом конечном значении коэффициента усиления цепи установившаяся ошибка будет отличной от нуля.

Передаточная функция разомкнутой системы для этого случая может быть представлена в виде

, (5.36)

где .

2. Интегральное регулирование. При интегральном регулировании осуществляется пропорциональная зависимость между скоростью изменения регулирующего воздействия и ошибкой:

; (5.37)

при этом регулирующее воздействие получается пропорциональным интегралу от ошибки по времени:

. (5.38)

В операторной форме это можно записать в виде

. (5.39)

Интегральное регулирование может быть осуществлено при помощи каких-либо интегрирующих звеньев, которые были рассмотрены ранее, в главе 4.

Аналогично изложенному выше (при рассмотрении пропорционального регулирования) передаточная функция цепи регулирования может иметь более сложный вид, например: .

Однако существенным здесь является то, что цепь регулирования представляет собой или имеет в своем составе интегрирующее звено. Поэтому выражение (5.39) будет справедливым по крайней мере для медленных изменений ошибки х.

Передаточная функция разомкнутой системы регулирования

. (5.40)

В установившемся состоянии (р = 0) передаточная функция стремится к бесконечности: . В результате первая составляющая ошибки (5.16) при g = g_o = const обращается в нуль. Вторая составляющая, определяемая наличием возмущающих воздействий, может не обращаться в нуль, так как в установившемся состоянии числитель ее может также стремиться к бесконечности. Поэтому должен быть найден предел выражения при :

, (5.41)

который может быть как равным нулю, так и отличным от нуля.

Таким образом, при интегральном регулировании получается система, астатическая по отношению к задающему воздействию. Она может быть при этом как статической, так и астатической по отношению к возмущающим воздействиям.

Передаточная функция разомкнутой системы для случая интегрального регулирования может быть представлена в виде

(5.42)

где — коэффициент усиления разомкнутой системы. Физически он представляет собой отношение установившейся скорости изменения регулируемой величины к постоянной по величине ошибке х = х₀ = const в разомкнутой системе (рис. 5.1):

, (5.43)

если цепь регулирования совместно с регулируемым объектом представить себе в виде некоторого усилителя с входной величиной х и выходной у.

Коэффициент K_v часто называют добротностью по скорости системы регулирования. В дальнейшем, при рассмотрении вопросов точности, будет показано, что он равен отношению постоянной скорости изменения задающего воздействия

к установившейся ошибке:

, (5.44)

что и определило подобное название.

Регулирование может осуществляться и по второму интегралу от ошибки по времени:

(5.45)

или

В этом случае передаточная функция разомкнутой системы будет иметь вид

, (5.47)

где — коэффициент усиления разомкнутой системы, представляющий собой отношение установившегося ускорения изменения регулируемой величины к постоянной по величине ошибке х = х₀ = const в разомкнутой системе (рис.. 5.1):

, (5.48)

В этом случае установившееся значение (р=0) передаточной функции .Система также будет обладать астатизмом относительно задающего воздействия. Однако это будет уже астатизм второго порядка. Ошибка, определяемая задающим воздействием в (5.16), будет равна нулю не только при g = const, но и при изменении задающего воздействия с постоянной скоростью .

Аналогичным образом можно получить астатизм третьего и выше порядков, вводя регулирование по третьему и высшим интегралам, т. е. осуществляя регулирование по закону

, (5.49)

где r — порядок астатизма.

Случай пропорционального регулирования (5.30) можно рассматривать как частный случай астатизма при r = 0.

Повышение порядка астатизма приводит к увеличению установившейся точности системы регулирования, но одновременно делает систему более замедленной в действии, т. е. снижает ее быстродействие, а также приводит к ухудшению устойчивости. Последнее будет показано ниже в главе, посвященной устойчивости.

Если перейти к регулированию по второму интегралу, то снижение быстродействия станет еще более заметным.

3. Изодромное регулирование.При изодромном регулировании осуществляется регулирование по пропорциональному и интегральному законам:

. (5.50)

В этом случае при р=0 и регулирование оказывается астатическим относительно задающего воздействия. Изодромное регулирование может осуществляться при помощи использования двух параллельных ветвей в цепи регулирования или при помощи установки изодромных звеньев, рассмотренных в главе 4.

Изодромное регулирование сочетает в себе высокую точность интегрального регулирования (астатизм) с большим быстродействием пропорционального регулирования. В первые моменты времени при появлении ошибки система изодромнрго регулирования работает как система пропорционального регулирования. Это определяется первым слагаемым в правой части закона (5.50). В дальнейшем система начинает работать как система интегрального регулирования, так как с течением времени преобладающее значение начинает приобретать второе слагаемое (5.50).

4. Регулирование по производным. При регулировании по первой про­изводной от ошибки осуществляется зависимость

. (5.51)

Регулирование по производной не имеет самостоятельного значения, так как в установившемся состоянии производная от ошибки равна нулю и регулирование прекращается. Однако оно может играть весьма большую роль в переходных процессах и вообще в динамике в качестве вспомогательного средства, так как такое регулирование позволяет учитывать не только наличие ошибки, но и тенденцию к росту или уменьшению ошибки. При осуществлении регулирования по закону

. (5.52)

в системе образуется регулирующее воздействие даже в том случае, когда х = 0, но . Так, например, в рассмотренном выше случае (рис. 5.2) при х = at регулирующее воздействие, определяемое вторым слагаемым в правой части (5.52), возникает уже при t = 0, В результате введение регулирования по производной от ошибки увеличивает скорость реакции системы регулирования, повышает ее быстродействие, что приводит к снижению ошибок в динамике.

В некоторых случаях в закон регулирования могут вводиться производные более высоких порядков — вторая, третья и т. д. Это еще больше улучшает динамические качества системы автоматического регулирования. Однако в настоящее время техническая реализация производных выше второго порядка встречает значительные трудности.

В общем случае закон регулирования может иметь сложный вид и содержать кроме члена, пропорционального ошибке, также интегралы (для улучшения точности) и производные (для улучшения динамических свойств) от ошибки. Так, например, часто используется изодромное регулирование с введением первой производной

. (5.53)

Таким образом, передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в следующем общем виде:

, (5.54)

где — коэффициент усиления разомкнутой системы, r— степень астатизма.

Для последующего использования при анализе и синтезе передаточную функцию разомкнутой системы удобно представлять в виде произведения сомножителей типа (1 + Тр):

. (5.55)

Если знаменатель или числитель (5.54) содержит комплексные корни, то в(5.55) появятся сомножители вида

1 + ар + bр² = 1 + 2ζТр + Т²р²,

которые характерны, например, для звеньев колебательного типа.

Формула (5.55) особенно удобна при использовании логарифмических частотных характеристик, так как и соответствуют сопрягающим частотам асимптотической Л.А.Х., которая при известных и может быть построена без вычислительной работы.

[1] В дальнейшем изложении при использовании изображении функции времени комплексная величина будет обозначаться буквой р. Однако при этом необходимо не

путать эту величину с оператором дифференцирования , который применяется при использовании функции времени (оригиналов).