Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
Пусть даны плоскость , и прямая
(рис 9.5)
– угол между прямой
и плоскостью
. Определим его значение. Т. к.
, и
. Мы получили, что угол между прямой и плоскостью можно вычислить по формуле:
(9.5)
Рис. 9.5
Подставляя координаты векторов получим выражение .
Если прямая параллельна плоскости, , то
и следовательно
или
.
Если прямая ортогональна плоскости , то
и выполняется пропорция
.
Для того чтобы прямая принадлежала плоскости
необходимо, чтобы выполнялись условия:
1) , то есть
;
2) (
, то есть
).
Определение.Совокупность всех прямых, проходящих через данную точку , называется связкой прямых (с центром в точке
).
Уравнение связки прямых: , где
(и
).
Пример. Дано общее уравнение прямой: , нужно найти каноническое уравнение этой прямой.
Решение. ,
,
, значит
. Найдем точку, принадлежащую
, полагая что
,
следует,
,
,
принадлежит
, следовательно,
.
Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве.
Задача 1.Найти условие пересечения трех плоскостей в одной и только одной точке.
Чтобы три плоскости пересекались в одной точке необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
Задача 2.Записать уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярную данной плоскости
(рис. 9.6)
Рис. 9.6
Искомая прямая имеет вид .
Задача 3.Записать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку
(рис. 9.7).
Рис. 9.7
1) находим нормальный вектор для нашей плоскости ;
2) используя точку и найденный нормальный вектор
, записываем общее уравнение плоскости
..
Задача 4. Найти расстояние от точки до плоскости
(рис 9.8) .
Поскольку расстояние от точки до плоскости есть проекция вектора соединяющего эту точку и любую точку на плоскости на нормальный вектор плоскости, поэтому ,
.
Рис. 9.8
(9.6)
Задача 5.Найти расстояние от точки до прямой
(рис. 9.10).
Пусть прямая имеет вид , поскольку верна формула
, т. к. расстояние от точки
до прямой
есть высота параллелограмма построенного на векторах
, тогда
.
Рис. 9.10
Задача 6.Найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми (рис. 9.11).
Напомним, что две прямые называются скрещивающимися, если они не принадлежат одной плоскости.
Алгоритм действий при решении данной задачи может быть следующим:
1) проверяем, являются ли прямые скрещивающимися, для этого достаточно проверить будут ли направляющие векторы прямых и вектор, соединяющий две произвольные точки, принадлежащие прямым, компланарны, т.е. . Если смешанное произведение равно нулю, то прямые не являются скрещивающимися и наоборот, если
, тогда прямые скрещивающиеся;
2) расстояние между скрещивающимися прямыми равно высоте параллелепипеда построенного на векторах , находим
тогда расстояние можно вычислить по формуле:
.
Рис. 9.11
Дата добавления: 2015-08-26; просмотров: 1250;