Матрицы и действия над ними

Цель: Изучить понятие матрицы, виды матриц, основные понятия, действия над матрицами и их свойства.

Определение: Система действительных или комплексных чисел (или функций) записанная в виде прямоугольной таблицы называется матрицей содержащая некоторое количество строк и столбцов. Числа и называются порядком матрицы.

Матрицу записывают в виде:

или

Числа - называются элементами матрицы. Индексы и - указывают на место элемента в матрице: - номер строки, - номер столбца. ( , ).

Для краткости матрицы иногда записывают в виде: , , .

Определение: Матрица, у которой число строк равно числу столбцов называется квадратной. Для нее вводится понятие главной и побочной диагоналей. Главная диагональ идет из левого верхнего угла в правый нижний угол. Побочная – из верхнего правого угла в левый нижний.

Виды матриц:

1. Треугольные матрицы: все элементы лежащие выше или ниже главной (побочной) диагонали равны нулю.

Нижняя треугольная верхняя треугольная

2. Диагональные матрицы: ненулевые элементы стоят только на главной диагонали. Т.е. для всех

Особое место среди диагональных матриц занимает единичная матрица:

, ее элементы

3. Симметричные матрицы: все ее элементы симметричны относительно главной диагонали.

4. Матрица, все элементы которой равны нулю называется нуль-матрицей и обозначается

Матрица размерности называется матрицей столбцом, просто столбцом или вектор столбцом.

Матрица размерности называется матрицей строкой, просто строкой или вектор строкой.

Матрица столбец - , матрица строка - .

Определение: матрицы называются равными, если они имеют одинаковые порядки и их соответствующие элементы равны: , для любых .

Операции над матрицами:

Определение. Суммой двух матриц и одинаковой размерности называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен

(10.1)

( ), (матричная запись суммы двух матриц).

Из определения суммы матриц видим, что строки можно рассматривать как координаты векторов и соответственно производить операции над матрицами, как над векторами.