Определители: вычисление и свойства

Цель: Изучить основные понятия темя, методы вычисления определителя, знать и уметь применять его свойства.

Всякую квадратную матрицу можно охарактеризовать числом, которое называется определитель или детерминант и может обозначаться одним из следующих символов: , , , ,

Прежде чем вычислять определитель введем в рассмотрение следующие определения.

Определение. Минором произвольного элемента матрицы размерности называется определитель порядка , полученный из основного определителя матрицы путем вычеркивания - ой строки и -го столбца.

Пример: Для матрицы найти миноры , .

Для вычисления минора вычеркиваем из определителя первую строку и первый столбец. Все, что осталось от определителя есть искомый минор: .

Для вычисления минора вычеркиваем из основного определителя строку с номером два и столбец с номером три: .

Определение: Алгебраическим дополнением элемента матрицы размерности называется выражение вида:

(11.1)

Другими словами, алгебраическое дополнение есть минор, взятый со своим знаком. Знаки алгебраического дополнения для матрицы третьего порядка можно записать в виде таблицы .

Теорема (о разложении определителя). Каков бы ни был номер столбца , для определителя порядка справедлива формула:

(11.2)

Разложения по строке , где -алгебраическое дополнение элемента , - минор элемента матрицы .

Каков бы ни был номер строки , для определителя порядка справедлива формула:

(11.3)

Разложение по столбцу.

Методы вычисления определителя:

При определитель равен самому элементу, т.е. .

При =2: = =

.