Доказательство. Пусть . Последнее означает, что

Пусть . Последнее означает, что

- положительная, следовательно, .

- ф.п.р.ч., следовательно, - ограниченная, тогда следовательно, . Поскольку поле рациональных чисел архимедовски расположенное, .

.

что и требовалось доказать.

Теорема 6. Поле действительных чисел является всюду плотным.

Доказательство.

Пусть . Для определенности положим, что . Тогда - положительная, следовательно, . Поскольку , - ф.п.р.ч, имеем

. Возьмем . Учитывая выше изложенное, получим

что и требовалось доказать.