Теорема о сходимости любой фундаментальной последовательности действительных чисел в поле действительных чисел.

Теорема 8. Любая фундаментальная последовательность действительных чисел сходится в поле действительных чисел.

Доказательство.

Пусть - ф.п.д.ч., где :

Рассмотрим последовательность . Покажем, что она фундаментальна.

Последнее неравенство влечет фундаментальность последовательностей вида при фиксированном . Оценим теперь :

. Таким образом, последовательность фундаментальна. Докажем, что и есть предел последовательности . Пусть .

Последнее неравенство доказывает, что .

что и требовалось доказать.