Решение. Критерий конформности отображения:для того, чтобы отображение области D, задаваемое функцией , было конформным

Критерий конформности отображения:для того, чтобы отображение области D, задаваемое функцией , было конформным, необходимо и достаточно, чтобы была:

1) аналитической в области D,

2) всюду в D,

3) однолистной в области D функцией.

Проверим все три условия.

1) – аналитическая функция всюду на плоскости Гаусса (проверяли ранее).

2) Изобразим область D на плоскости Гаусса. уравнения окружностей с центром в точке О радиусами, соответственно, 1 и 2; – это кольцо между двумя окружностями. область D – часть кольца, расположенная в первой четверти (рис. 21)

Найдем производную:

для всех точек

3) Докажем, что область D – однолистная, т.е. числам и из области D таким, что , соответствуют различные значения функции .

Пусть , (записали в показательной форме). Найдем условие, при котором , хотя . . Тогда , k =0,1.

Так как , то . Следовательно, область однолистности функции не должна содержать внутри себя точек, модули которых совпадают, а аргументы отличаются на т.е. областью однолистности является любая полуплоскость, например, или . В нашей задаче рассматривается область, лежащая в половине полуплоскости, следовательно, D – однолистная.

Из 1) – 3) следует, что отображение, осуществляемое функцией , конформно в области D.