Их конформные отображения
В теории и практике конформных отображений ставятся и решаются две задачи: прямая и обратная. Прямая задача заключается в нахождении образа данной линии или области при заданном отображении Обратная задача заключается в нахождении функции, осуществляющей отображение данной линии или области на другую линию или область.
Для решения данных задач необходимо знать некоторые свойства основных элементарных функций.
1. Линейная функция .
a, b , т.е. . Так как , то имеем, что . Следовательно, , .
1) – аналитическая функция, т.е. u и v – гармоническая пара, т.к. выполняются условия КРЭДа: , .
2) для всех z .
Из 1) и 2) следует, что отображение, реализуемое линейной функцией, конформно на всей плоскости Гаусса.
Пусть плоскости и и оси координат совпадают. Рассмотрим частные случаи.
1) Пусть (а = 1)
.
Преобразование сводится к сложению переменного вектора с данным вектором , т.е. параллельному переносу плоскости на вектор (рис. 22). Поворота при этом не происходит, так как Тогда
2)Пусть (b = 0); .
Угол поворота Коэффициент растяжения
Если а – действительное число, то поворота не происходит и вектор всякого комплексного числа растягивается в раз, например, окружность единичного радиуса на плоскости превращается в окружность радиуса на плоскости , и все точки окружности перемещаются в соответствующие точки по радиусу.
Если а – комплексное число, то происходит и растяжение, и поворот одновременно.
Вывод:отображение, осуществляемое линейной функцией, представляет собой композицию растяжения , поворота и параллельного переноса .
Замечание 1. Обратной к линейной функции будет функция .
Замечание 2.Отображение конформно во всей расширенной плоскости и имеет две неподвижные точки: ( ,
Пример 29. С помощью функции найти отображение окружности
на плоскость (Оuv).
Дата добавления: 2015-07-14; просмотров: 1187;