Доказательство. По определению 25 функция называется дифференцируемой в точке z, если ее приращение можно записать в виде (9):

Необходимость.

По определению 25 функция называется дифференцируемой в точке z, если ее приращение можно записать в виде (9):

отсюда, выделив действительную и мнимую части функции , получим:

.

Данные равенства являются определениями дифференцируемости в точке функций двух переменных и соответственно, где величины А и В не зависят от и , а при , причем для дифференцируемости функций и необходимо и достаточно, чтобы они имели в этой точке конечные производные, т.е. должны выполняться условия .

Достаточность.

Пусть функции и дифференцируемы, т.е. их приращения можно записать в виде , где при , A и B не зависят от и , причем . Тогда

по формуле (9) это означает, что функция является дифференцируемой в точке z, что и требовалось доказать.

Следствие.Так какпроизводная дифференцируемой функции комплексного переменного равна (по теореме 2), где (по теореме 4), то она может быть найдена по одной из формул:

, , , (11)

Замечание. Если введена полярная система координат, т.е. то условия КРЭДа имеют вид:

, (12)

формулы для производной: (13)

Остаются в силе все основные свойства производной и правила дифференцирования, выведенные для функций от вещественного переменного.

Теорема 5.Если функции f(z), g(z) дифференцируемы в точке z, то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в этой точке и имеют место формулы:

1) ; 2) ;

3) , ;

4) если функция g(z) имеет производную в точке z, а функция f(g) имеет производную в соответствующей точке g, то сложная функция f(g(z))имеет производную в точке z и имеет место формула:

Применив условие (10) и одну из формул (11), можно вывести, что производные от элементарных функций комплексного переменного совпадают с производными от элементарных функций вещественного переменного:

( z^а )' = а z ^а-1 ; ( е ^z )' = е ^z; ( а ^z )' = а ^z ln a;(ln z )' = ; (sin z)' = cos z;(cos z)' = – sin z; ( tg z )' = ; (arcsin z )' = ;( arccos z )' = ; ( arctg z )' = ; ( arcctg z ) = ; (sh z)' = ch z;(ch z)' = sh z.

Пример 18.Выяснить, в каких точках дифференцируема функция .