Предел и непрерывность ФКП
Пусть однозначная функция задана в некоторой окрестности точки z0, за исключением, быть может, самой точки z0.
Определение 18.δ – окрестностью точки z0 называется внутренность круга радиуса δ с центром в точке z0 (рис. 14).
Определение 19.Число называется пределом функции при и обозначается , если для любого положительного ε найдется число δ = δ(ε) > 0 такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .
Определение 20. , если для любого R > 0 найдется δ(R) > 0 такое, что для всех таких что , выполняется неравенство
Замечание. Существование предела для функции по некоторому фиксированному пути еще не гарантирует существование предела при .
Определение 21(первое определение непрерывности функции в точке). Функция называется непрерывной в точке , принадлежащей ее области определения, если
Отсюда можно записать, что для непрерывности функции в точке должно выполняться равенство нулю разности: .
С учетом того, что предел константы равен самой константе, данное равенство можно записать в виде: (*).
Пусть , отсюда . По условию , следовательно, . Рассмотрим приращение функции в точке :
. Подставив полученное равенство в (*), получим второе определение непрерывности функции в точке :
Определение 21 (второе определение непрерывности функции в точке). Функция называется непрерывной в точке , принадлежащей ее области определения, если
Определение 22. Функция называется непрерывной на некотором множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Теорема 1 (необходимое и достаточное условие непрерывности).
Для непрерывности ФКП необходима и достаточна непрерывность составляющих ее функций:
– непрерывна u = u(x, y); v = v(x, y) – непрерывны.
Замечание. Равенство эквивалентно двум равенствам:
Следствие.Из теоремы следует непрерывность суммы, разности, произведения и частного (знаменатель не равен нулю) двух непрерывных функций.
Замечание. В теории функций комплексного переменного принято считать, что кроме обычных конечных точек комплексной плоскости (z) имеется еще одна несобственная, иначе, бесконечно удаленная точка , служащая пределом любой последовательности конечных точек z1, z2,..., для которой . Комплексная плоскость с добавленной к ней бесконечно удаленной точкой называется расширенной комплексной плоскостью.
Пример 7. Вычислить предел .
Дата добавления: 2015-07-14; просмотров: 2687;