Основные элементарные функции комплексного переменного

Отображения, осуществляемые данными функциями, и свойства отображений будут перечислены позднее.

1. Дробно-рациональнаяω = f(z) = .

Частные случаи:

1) Линейная ω = f(z) = az + b, .

2) Степенная ω = f(z) = zⁿ, .

3) Дробно-линейная ω = f(z) =

4) Функция Жуковского ω = f(z) = .

2. Показательная функцияω = f(z) = .

Некоторые свойства ω = .

1) , , , т.е.

2) , ,

т.е. показательная функция комплексного переменного обладает рядом свойств, справедливых для функции действительной переменной.

3) Показательная функция комплексного переменного является периодической с мнимым основным периодом

4) ω = не всегда положительная функция, например:

Замечание. В §1 была определена формула Эйлера. Для мнимых показателей она имеет вид: . (3)

С помощью формулы Эйлера выводятся формулы для элементарных функций. Например, выражение для показательной функции: .

Также формула (3) применяется для вычисления значений элементарных функций в заданных точках.

Пример 10.Найти , функции .