Логарифмические функции.

Определение 23.Логарифмом числа называется такое число A, что справедливо равенство: .

Логарифмическую функцию комплексного переменного обозначают Ln z.

Будем искать вид Ln z в алгебраической форме:

Ln z , , , , , следовательно,

, , где . Тогда

Ln z , . (8)

Функция Ln z – многозначная: в каждой точке, не равной нулю и ∞, она принимает бесконечно много значений. Для каждого k получим определенное значение - логарифм числа z.

При k = 0 получим главное значение логарифмической функции, где Следовательно, можно записать Ln z

Заметим, что если z – действительное положительное число, то и , т.е. главное значение логарифма действительного положительного числа совпадает с обычным натуральным логарифмом этого числа, например, z = 5, .

Свойства Ln

1) Ln Ln Ln , 2) Ln Ln Ln ,

3) Ln nLn , 4) Ln Ln .

Доказательство первого свойства.

Ln

Ln z₁ +Ln z₂, что и требовалось доказать.

Пример 14.Найти Ln z и главные значения для чисел: а) z = б) z = 1.

Решение:

Для решения воспользуемся формулой (8).

а)

Ln i ,

б)

Ln 1 ,

6. Общая степенная функция .

а) Если а = n – натуральное число, то степенная функция определяется как:

Функция – однозначная.

б) если , где ,то

Функция – многозначная, она имеет n значений. Например, при k = 0, получим однозначную функцию.

в) Если , где , то

– многозначная функция.

г) Степенная функция , где – произвольное комплексное число. Тогда степенная функция определяется как .

Функция определена для всех и является многозначной функцией.

Главное значение – . Если , тогда получим многозначную функцию – корень n-ой степени из комплексного числа: .

7. Общая показательная функция .

,

Функция – многозначная. Главное значение – .

При будем полагать, что .

Пример 15. Найти .