Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

, (4.1)

Скорость колеблющейся материальной точки получим, продифференцировав (4.1) по времени:

. (4.5)

Продифференцировав (4.5), получим ускорение а:

. (4.6)

Или:

. (4.7)

Выражение (4.7) описывает гармонические колебания величины x и называется дифференциальным уравнением гармонического осциллятора. Его решением является гармоническая функция (4.1). Если вторая производная по времени какой-либо физической величины (не обязательно смещения) пропорциональна самой величине с противоположным знаком, то данная физическая величина изменяется со временем по гармоническому закону.

3. Пружинный, физический и математический маятники

Физическим маятником называется твёрдое тело, способное колебаться в поле силы тяжести относительно оси, не проходящей через центр масс (рис.4.6).

Длина физического маятника – это расстояние между центром масс С и осью вращения (точка О). Плечо силы тяжести равно

, (4.12)

где – угол отклонения из положения равновесия. Момент силы тяжести относительно оси вращения

; (4.13)

для малых углов отклонения

,

. (4.14)

Знак «–» в (4.14) поставили потому, что проекция углового перемещения на ось вращения противоположна по знаку проекции момента силы. По закону динамики для вращательного движения (3.13) , где – момент инерции маятника относительно оси вращения тогда угловое ускорение

,

или

. (4.15)

Уравнение (4.15) – это дифференциальное уравнение гармонических колебаний типа (4.7), где роль переменной величины играет угол отклонения маятника:

,

а коэффициент при – квадрат круговой частоты:

.

Период колебаний физического маятника

. (4.16)

Частным случаем физического маятника является маятник математический: материальная точка (тело, размерами которого можно пренебречь), подвешенная на нерастяжимой невесомой нити (рис.4.7). Для материальной точки момент инерции ; тогда

. (4.17)

Введём определение для физического маятника: приведённая длина физического маятника – это длина такого математического маятника, который имеет тот же период колебаний. По определению

,

откуда

.

Здесь – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс; – по теореме Штейнера. Приведённая длина физического маятника (рис.4.6) всегда больше его длины ; в частном случае математического маятника они совпадают. Точка называется точкой качаний; она с точкой подвеса О обладает свойством взаимности: если маятник перевернуть и подвесить за , период колебаний будет таким же.