Скорость плоской волны

Введение понятия звукового потенциала U позволяет определить ряд важных параметров плоской волны. Потенциал U в безграничной среде определяется выражением:

(VIII.24)

Производная потенциала U по времени, умноженная на плотность среды r, характеризует акустическое давление P плоской волны:

. (VIII.25)

Амплитуда акустического давления P_m равна:

. (VIII.26)

Производная потенциала U по направлению x определяет колебательную скорость плоской волны:

. (VIII.27)

Амплитуда колебательной скорости V_m равна:

. (VIII.28)

Величина называется волновым числом, показывающим, сколько длин волн l укладывается на расстоянии x = 2p, т.е.

. (VIII.29)

Сравнивая выражения (VIII.25) и (VIII.27), видим, что под знаком синуса стоит одно и то же выражение . Это значит, что в плоской волне акустическое давление P и колебательная скорость V распространяются синфазно.

Взяв отношение , получим: ; таким образом,

. (VIII.30)

Полученное выражение называется акустическим сопротивлением (импедансом) среды.

Интенсивность I акустических колебаний плоской волны определяется из соотношения:

, т.е. . (VIII.31)

Выражения (VIII.26), (VIII.28) и (VIII.31) показывают, что амплитуды акустического давления, колебательной скорости и интенсивности плоской волны не зависят от расстояния x, т.е. плоская волна в однородной непоглощающей среде распространяется без потерь. Это объясняется тем, что при постоянной скорости и бесконечной длине фронта волновые поверхности при удалении от источника колебаний не увеличиваются.

В реальных средах при возбуждении упругих колебаний в воде или в твердых породах интенсивность акустических колебаний по мере удаления от источника возбуждения уменьшается. Это ослабление интенсивности вызвано главным образом геометрическим расхождением, т.е. увеличением фронта волновой поверхности при удалении от источника и рассеянием энергии ударного импульса на мелкомасштабных, соизмеримых с длиной волны неоднородностях среды. При наличии границ раздела энергия уменьшается также за счет частичного отражения волн от этих границ.

Рассеяние энергии акустического излучения за счет превращения ее в тепло обычно не принимается в расчет ввиду слабого влияния этого фактора на величину поглощения. Таким образом, движение акустической волны в реальных средах рассматривается как адиабатический процесс, т.е. процесс, не сопровождающийся теплопередачей.

Уравнение плоской волны с учетом поглощения морской воды имеет вид:

. (VIII.32)

Здесь m – коэффициент сдвиговой вязкости, зависящий от температуры и солености морской воды. Он уменьшается с увеличением температуры и увеличивается с увеличением солености. Последний член в правой части уравнения (VIII.32) и определяет поглощающие свойства среды.

Вещественная часть этого уравнения имеет вид:

, (VIII.33)

где А – амплитуда колебаний источника в начальный период времени t=0, a – коэффициент поглощения, измеряемый в неперах, или в обратных единицах длины, или в децибелах и имеющий размерность (см^‑1). При этом

1нп/см = 8,686 дб/км. (VIII.34).

Согласно Стоксу, коэффициент поглощения по амплитуде равен:

. (VIII.35)

Отсюда видно, что поглощение пропорционально квадрату частоты и коэффициенту вязкости среды m. Последний измеряется в пуазах и имеет размерность г/см×с.

Из формулы (VIII.33) можно заключить, что амплитуда акустических колебаний плоской волны уменьшается с расстоянием x по экспоненциальному закону .

В соответствии с полученным выражением (VIII.33) формулы для амплитуд акустического давления, колебательной скорости и интенсивности для поглощающей среды примут вид:

, (VIII.36)

Таким образом, плоская волна в поглощающей среде будет характеризоваться затуханием пропорционально члену .

Анализ формулы Стокса (VIII.35) показывает, что поглощение увеличивается с увеличением частоты колебаний. В сейсмическом диапазоне частот, т.е. при f = 5¸1000 гц, коэффициент поглощения в морской воде близок к нулю.

В твердых средах он зависит от плотности, пористости и размеров зерен породы. Например, в осадочных породах a выше, чем в кристаллических (базальтовых, гранитных). При этом величина коэффициента поглощения на высоких частотах обусловлена главным образом текстурными неоднородностями пород (пористостью, размером зерен, тонкой слоистостью и т.д.). На низких частотах a зависит от крупномасштабных неоднородностей разреза.

В морской воде поглощение наиболее ощутимо для высокочастотных колебаний (порядка десятка килогерц). Оно обусловлено вязкостью воды, а также насыщенностью воды микроэлементами органического и неорганического происхождения (фито- и зоопланктон, взвесь, пузырьки воздуха и т.д.).

Теоретический коэффициент поглощения для чистой пресной воды в децибелах на км равен:

a = 7,4 × 10^{-11 f 2}, (VIII.37)

т.е. коэффициент поглощения растет пропорционально квадрату частоты. Это весьма важный вывод, на котором основан выбор частоты измерения гидроакустических систем.

На основе изучения распространения волн от атомных взрывов для частот от 16 Гц до 60 кГц для коэффициента поглощения в морской воде получена следующая эмпирическая формула:

, (VIII.38)

где f – частота в кГц.

С учетом поглощения интенсивность акустических колебаний в морской воде определяется из следующего выражения:

, (VIII.39)

где I₀ – интенсивность в источнике, I – интенсивность на расстоянии x от источника.