Трансформации потенциальных полей

При геофизических, гравимагнитных исследованиях, например в океане, измерительный комплекс аппаратуры помещается либо на корабле, либо в приповерхностном слое воды. Аномалиеобразующие тела залегают в толще земной коры на различных уровнях подо дном океана. Поэтому все измерения, производимые фактически с поверхности воды, как бы удалены от объектов в верхнее полупространство на расстояние, равное глубине океана в точке наблюдения. Аналогичная ситуация возникает при наблюдениях на суше, когда поверхность кристаллического фундамента, где сосредоточены основные аномалиеобразующие массы, отделена от поверхности наблюдения осадочной толщей. Такое удаление от источников аномалий, конечно, ослабляет наблюдаемые на поверхности потенциальные поля и ухудшает их разрешающую способность.

Попытки улучшить информацию путем наблюдений с приборов, буксируемых вблизи поверхности дна, хотя и дают положительные результаты, однако ввиду сложности и высокой стоимостью технического исполнения не выходят за рамки экспериментов. К настоящему времени разработан целый арсенал методов, позволяющих решить этот вопрос аналитически, используя лишь наблюденные значения Dz (DT) или Dg. Наиболее употребительными методами преобразования потенциальных полей являются осреднение, аналитическое продолжение (трансформация) поля в верхнее или нижнее полупространство, вычисление высших производных потенциала.

Поле аномалий Dg и DT, взятое, например, вдоль некоторого профиля, представляет чаще всего довольно сложную кривую. Она отражает суперпозицию взаимного влияния различных тел, расположенных на разных уровнях в земной коре.

Удаляясь или приближаясь к аномальным массам, мы будем тем самым ослаблять или усиливать те или иные аномалии, потому как в общем виде величина потенциала обратно пропорциональна расстоянию до возмущающего объекта:

.

Гравитационный и магнитный потенциалы являются гармоническими функциями, т.е. слабо меняющимися при малых приращениях аргумента и дважды дифференцируемые. Однако, строго говоря, магнитный потенциал не вполне отвечает этому требованию, так как в знаменателе имеет квадрат расстояния (r²), а не первую степень (r), как у гравитационного потенциала.

Согласно теореме Гаусса о среднем значении гармонической функции, она обладает важным свойством: будучи заданной на плоскости и на сфере, гармоническая функция может быть определена в любой точке пространства. Иными словами, значение гармонической функции, например, в центре круга равно интегральному среднему ее значения на окружности (плоская задача).

При этом оказывается, что при пересчете поля в верхнее и нижнее полупространства наиболее сильно изменяется поле от небольших по размерам объектов, расположенных близко к поверхности. Поле от глубоко расположенных крупных геологических объектов мало подвержено изменению при трансформациях. Пересчитывая поле Dg или DT вверх, мы в значительной степени исключаем влияние локальных структур и подчеркиваем поле, вызванное действием крупных региональных объектов.

С другой стороны, пересчитывая наблюденное поле в нижнее полупространство, например на уровень кристаллического фундамента, мы в значительной мере усиливаем интенсивность локальных аномалий, вызванных близко расположенными к поверхности небольшими объектами.

Таким образом, операция трансформации аналогична фильтрации: при пересчете вверх подавляются высокочастотные составляющие кривых Dg или DT и выделяются низкочастотные, при пересчете вниз, наоборот, происходит усиление высокочастотного фона аномалий и относительное уменьшение низкочастотных составляющих. Аналогичный пересчету в верхнее полупространство эффект производит осреднение поля по площадям. Вычисление высших производных Dg или DT, так же как и пересчет в нижнее полупространство, усиливает высокочастотные составляющие поля.

Расчет поля в верхнее полупространство можно производить с помощью интеграла Пуассона:

. (VII.65)

Применение этого интеграла обусловлено важным свойством гармонических функций, которые, будучи заданными на сфере или плоскости, могут быть определены в любой точке пространства.

Таким образом, зная распределение Dg или DT на поверхности воды или Земли, можно рассчитать их значение выше или ниже этой поверхности. Эта операция и выполняется с помощью интеграла (VII.65).

Для вычисления выражения (VII.65) введем новые переменные:

; .

Получим

, (VII.66)

или, полагая , где n – целое число, получим приближенную формулу для численного интегрирования:

, (VII.67)

где - среднее значение функции Dg на i-м интервале профиля, который виден из точки (0, -h) под углом Dj.

Вычисление V (0, -h) выполняется с помощью палетки, для построения которой нужно из точки (x = 0, z = -h) провести вниз лучи под углом . Высота пересчета определяется расстоянием линии -h до оси x в горизонтальном масштабе кривой Dg(x).

В основе пересчета потенциальных полей в нижнее полупространство лежит следующее свойство потенциальных функций: значение функции в центре окружности (плоская задача) равно ее среднему значению по окружности (рис. 55). Используя это свойство, наблюденное значение функции Dg(x) или DT в произвольной точке (0, 0) профиля можно рассматривать как значение в центре круга.

На этом основании для вычисления значений Dg и DT в точке (0, -h) нижнего полупространства можно положить значение функции в центре приблизительно равным среднему арифметическому в четырех равноотстоящих на окружности точках с радиусом h, т.е.

(VII.68)

Таким образом, для определения V (0, -h) по формуле (VII.68) нужно предварительно найти рассмотренным выше способом значения функции в точке (0, h).

Имеются и другие формулы для пересчета полей, которые используют только значение поля на уровне съемки, например формула В.Н. Страхова:

Следует отметить, что при пересчете в нижнее полупространство сильно возрастают влияния ошибок измерений. Поэтому для их уменьшения производят предварительно на каждом уровне пересчета сглаживание кривой Dg или DT. Разумеется, что эти операции ведут и к искажению первичной информации, появлению ложных аномалий или, наоборот, затушевыванию существующих аномалий. Поэтому проведение операций трансформации требует выполнения высокоточных наблюдений.