Деформации и напряжения в горных породах. Закон Гука

Горные породы, слагающие земную кору, являются продуктами дезинтеграции и переотложения преимущественно магматических пород, вынесенных на поверхность вулканизмом. Наряду с неизмененными магмами низы земной коры состоят преимущественно из метаморфических пород. Верхнюю часть разреза повсеместно, кроме докембрийских щитов, слагают осадочные породы различной мощности и происхождения. Средняя толщина земной коры составляет около 33 км. Под подошвой коры залегает малоизмененное первичное планетное вещество мантии – так называемое протовещество.

Породы, слагающие земную кору, и вещество глубоких недр планеты обладают различными упругими свойствами, обусловленными их различным петрографическим составом и термодинамическими условиями залегания. Под упругими свойствами понимается сопротивление среды изменению объема и формы пород под действием внешней силы.

Деформация породы происходит вследствие смещения атомов, молекул или ионов узлов кристаллической решетки вещества (жидкого, твердого или газообразного) от положения их равновесия. Внутренние силы взаимодействия между указанными компонентами вещества препятствуют этой деформации и стремятся вернуть смещенные атомы, молекулы или ионы в положение равновесия. В результате этого в породе возникают колебания частиц. Эти колебания распространяются на соседние объемы пород и таким образом происходит образование и распространение упругих колебаний (сейсмических волн) во все стороны от приложенной силы. В качестве таковой может выступать землетрясение, ядерные или обычные (тротиловые) взрывы и тому подобное. Способность пород передавать на большие расстояния с определенной скоростью упругие деформации определяет основы сейсмометрии земной коры и глубоких недр планеты, недоступных прямым наблюдениям.

Рассмотрим воздействие внешних сил на горную породу. Обозначим через s напряжение, т.е. поверхностную плотность силы, возникающую в некотором элементарном объеме тела.

В твердой, лишенной пор породе напряжение определяется выражением:

s = F/S, (VIII.1)

где S – площадь, на которую воздействует сила F. В обычной пористой породе площадь S состоит из площади контакта S₀ минеральных зерен и S_п – площади пор:

S = S₀ + S_п. (VIII.2)

В поровом пространстве напряжений нет, т.е. напряжение возникает только на контактах минеральных зерен:

s¢ = F/S₀. (VIII.3)

Поскольку S₀< S, то с увеличением пористости напряжение s¢ возрастает.

Под воздействием внешних сил F горная порода испытывает изменение объема, линейных размеров и формы. Все эти изменения называются деформацией.

Возникновение той или иной деформации зависит от величины внешней нагрузки или характера внутренних связей между частицами породы. Если тело испытывает продольное напряжение (сжатие или растяжение), например, вдоль одной оси x:

s_x = F/x,

то ему соответствует относительная деформация e_x. Тогда

s_x = F/x, или s_x = Ee_x. (VIII.4)

Это закон Гука, согласно которому малым напряжениям в среде соответствуют малые деформации, или гармонические колебания. В дифференциальной форме закон Гука будет иметь вид:

s_x = E(¶U/¶x). (VIII.5)

Здесь Е – модуль упругости (модуль Юнга). В сейсмике он представляет собой физическую константу среды:

E = rc², (VIII.6)

где r – плотность, г/см³, с – скорость упругих волн м/с. Величина , когда под влиянием внешней силы s_x частицы среды сближаются, т.е. происходит сжатие среды. При частицы среды отходят друг от друга и возникает растяжение.

Поскольку величина s_x представляет собой давление Р, то закон Гука позволяет рассчитать акустическое давление в любой точке среды.

Рис. 56. Деформации объема среды при движении P-волн (а); деформации сдвига при движении S-волн (б)

Если деформация вызывает касательное напряжение (см. рис. 56), то она определяется углом сдвига a или деформацией сдвига d, где , или :

. (VIII.7)

Здесь G – модуль сдвига. Это закон Гука для сдвиговых деформаций, или деформаций формы.

Закон Гука в своей линейной части (см. рис. 57) характеризует область упругой деформации, происходящей в малом отрезке времени (доли секунды). Однако упругое тело Гука в геологическом масштабе времени (тысячи, миллионы лет) может вести себя как пластичное тело, т.е. подчиняться нелиней­ным законам Максвелла. Такую среду называют телом Максвелла. В общем случае деформация в твердых породах слагается из упругой f₁(s) и пластичной f₂(s,t), т.е.:

DU = f₁(s) + f₂(s,t). (VIII.8)

Таким образом, горные породы в разных временных масштабах могут одновременно рассматриваться и как упругие тела Гука, и как пластичные тела Максвелла. Если величина деформации превышает пределы прочности пород, то наступает их разрушение. Величина таких деформаций слишком велика и выходит далеко за пределы условий возбуждения малых (гармонических) колебаний. Поэтому мы их здесь не будем рассматривать.

Модуль Юнга Е и модуль сдвига G являются основными упругими характеристиками среды. Их размерность – кг/см² или н/м² (СИ). Для оценки отношения между продольными (DU/U) и поперечными (Dd/d) деформациями вводится коэффициент Пуассона (безразмерная величина):

. (VIII.9)

Весьма важно отметить, что через модуль Юнга и модуль сдвига можно определить скорость распространения упругих волн – объемных, называемых продольными волнами с_р – и сдвиговых волн, называемых поперечными волнами – с_s:

(м/с); (м/с), (VIII.10)

где r – плотность среды.

Существует весьма важное соотношение скорости продольных волн к скорости поперечных – с_р/с_s, которое является, по существу, функцией коэффициента Пуассона:

. (VIII.11)

Для осадочных пород, вследствие низкого сопротивления сдвигу рыхлых отложений, величина с_р/с_s может достигать больших значений:

с_р/с_s = 1,4 ¸ 14 и более.

Для кристаллических магматических и метаморфических пород это соотношение лежит в более узких пределах:

с_р/с_s = 1,7 ¸ 1,9.

Из приведенного видно, что скорость упругих волн в породах зависит главным образом от их плотности и практически не зависит от частоты колебаний. Последняя оказывает сильное влияние на поглощение волн.