Амплитуда плоской волны в среде без потерь не зависит от расстояния

Решение (3.3) является общим, то есть оно описывает все возможные процессы, удовлетворяющие уравнению (3.2). Это решение состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое описывает волну, распространяющуюся в положительном направлении оси z. Это понятно из следующих рассуждений. Фаза в месте расположения источника поля, при z = 0, описывается произведением ωt. Если z > 0, зависимость фазы волны от расстояния и координаты z описывается разностью ωt – βz. β – это действительная часть волнового числа, положительная по определению. Поэтому у волны, распространяющейся в положительном направлении оси z, отставание фазы пропорционально расстоянию. Следовательно, первое слагаемое в фигурных скобках описывает волну, удаляющуюся от источника. Это и было оговорено при формулировке задачи.

Во втором слагаемом перед произведением волнового числа на расстояние стоит знак плюс. Следовательно, чем дальше от источника, тем на больший угол фаза волны опережает фазу источника. Но эта ситуация не соответствует формулировке задачи. Значит, амплитудный коэффициент перед вторым слагаемым должен быть равен нулю и решение уравнения (3.2) примет вид:

(3.5)

Для получения частного решения осталось определить коэффициент А. Это амплитуда вектора напряженности магнитного поля. Обычно она находится из начальных условий, граничных условий или как-нибудь иначе. Но мы этого делать не будем. При выводе уравнений (2.30) и (2.31) мы условились, что среда, в которой распространяется электромагнитное поле, является линейной, то есть ее свойства не зависят от амплитуды напряженности поля. Поэтому для описания распространения электромагнитных волн величина амплитуды напряженности магнитного поля нам не нужна и решение (3.5) примет вид:

(3.6)

Уравнение (2.30) для вектора напряженности электрического поля решается так же, и вид решения будет таким же, кроме обозначения вектора поля и его орта:

(3.7)

Мы получили решение волновых уравнений в декартовой системе координат, у которой все три координатные поверхности – плоскости. Это наиболее простой, но весьма важный случай. И о плоской волне мы чаще всего будем говорить далее.

Однако для описания всех случаев, встречающихся в практической радиотехнике одного приближения плоской волны недостаточно. Поэтому коротко рассмотрим еще два решения – цилиндрические и сферические волны.

Очевидно, что описывать цилиндрические и сферические волны надо в цилиндрической и сферической системах координат соответственно. Ход решения этих задач аналогичен описанному выше, но более сложен из-за более сложного представления оператора Лапласа. Поэтому сразу приступим к описанию цилиндрической и сферической волн. Необходимо иметь ввиду, что эти волны также являются однородными, то есть амплитуда на поверхности волнового фронта постоянна.

Цилиндрические волны - это волны, имеющие осевую симметрию. Они могут возбуждаться, например, бесконечной прямой нитью источников. Фронты волны при этом имеют вид концентрических круговых цилиндров.

Пусть источники расположены вдоль оси z цилиндрической системы координат. Доказано, что в этом случае на расстоянии, значительно превышающем длину волны, комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля будет убывать пропорционально корню квадратному из расстояния:

(3.10)

Обратите внимание на то, что в эту формулу расстояние входит не только в мнимый показатель степени экспоненты, но и стоит под корнем в знаменателе.

Амплитуда цилиндрической волны в среде без потерь обратно пропорциональна корню квадратному из расстояния

Это убывание происходит по следующей причине. Плотность энергии электромагнитной волны пропорциональна квадрату амплитуды вектора напряженности поля. Волна однородная, поэтому плотность энергии одинакова во всех точках фронта. В цилиндрической волне площадь фронта волны S (поверхности цилиндра) пропорциональна расстоянию до его оси r. Она вычисляется как произведение длины окружности сечения цилиндра 2πr на его высоту h: S = 2πrh. Следовательно, плотность энергии на фронте волны будет изменяться обратно пропорционально радиусу цилиндра, а напряженность электромагнитного поля – пропорционально корню из этого расстояния.

Сферические волны возникают, например, тогда, когда очень маленький источник возбуждает неограниченное однородное пространство. Зависимость комплексной амплитуды сферической волны от расстояния описывается формулой:

(3.11)

Из этой формулы видно, что амплитуда колебаний в сферической волне обратно пропорциональна расстоянию.

Амплитуда сферической волны в среде без потерь обратно пропорциональна расстоянию

Причина такого закона уменьшения напряженности поля такая же, как и у цилиндрической волны. Но площадь фронта увеличивается быстрее, пропорционально квадрату расстояния: S = 4πr². Значит, плотность энергии обратно пропорциональна квадрату расстояния, а напряженность поля – расстоянию в первой степени.

Этим же объясняется и отсутствие зависимости амплитуды напряженности поля от расстояния у плоской волны: площадь ее фронта не зависит от пути, пройденного волной.