Хвильове рівняння

При розгляді багатьох фізичних задач, виходячи з фундаментальних фізичних законів шляхом математичних перетворень, отримують диференціальні рівняння, які описують розглядувані фізичні процеси. Наприклад, якщо застосувати фундаментальний фізичний закон – другий закон Ньютона – до задачі про рух маятника в однорідному полі тяжіння, можна отримати наступне диференціальне рівняння

.

Як було показано у попередньому розділі, рівняння такого вигляду зустрічаються у багатьох фізичних задачах і описують гармонічні коливання величини, яка у рівнянні позначена . При цьому в різних задачах в якості виступають різні фізичні величини (координата важеля, кут повороту, електричний заряд, напруженість поля, та ін.), а константа у рівнянні, хоча і набуває різних значеннь в різних задачах, але завжди має той же самий фізичний зміст – це квадрат кругової частоти власних коливань. Отже, вищенаведене рівняння є начебто візитною карткою різноманітних процесів, які ми називаємо спільною назвою “гармонічні коливання”. Розв’язками цього рівняння є такі відомі вирази, як, наприклад, та .

З рівняннями, які описують хвильові процеси, складається ситуація, аналогічна коливальним процесам. У різноманітних фізичних задачах, які розглядають різні хвильові процеси, з фізичних законів випливає одне й те саме диференціальне рівняння, яке в подальшому ми будемо називати хвильовим рівнянням. В одновимірному випадку це рівняння має вигляд

.

На відміну від гармонічних коливань, хвильове рівняння – це рівняння у частинних похідних. Розв’язками цього хвильового рівняння є вищерозглянуті рівняння хвилі , у тому числі рівняння гармонічних хвиль. У цьому можна впевнитись шляхом підстановки функції у хвильове рівняння. Для скорочення запису тимчасово позначимо . Приймемо до уваги, що , , і перетворимо похідні:

,

.

Підставимо отримані вирази для похідних у хвильове рівняння і отримаємо:

.

Таким чином, стає зрозумілим фізичний зміст константи у хвильовому рівнянні - рівняння перетворюється на тотожність за умови , де - швидкість розповсюдження хвилі.

У тривимірному випадку хвильове рівняння записують у вигляді

,

де оператор Лапласа у декартових координатах має вигляд

.

Для сферичних хвиль рівняння хвилі виглядає аналогічно, тільки оператор Лапласа повинен бути перетворений за правилами переходу до сферичної системи координат. Наприклад, хвильове рівняння для сферичних хвиль можна подати у вигляді

.