Поздовжні та поперечні хвилі в пружному середовищі

Тіло називається пружним, а його деформації, зумовлені зовнішніми силами, називаються пружними деформаціями, якщо вони прямо пропорційні зовнішнім діям, що їх зумовлюють, і повністю зникають після припинення дії цих сил.

Пружні властивості тіл залежать від характеру теплового руху молекул та сил їх взаємодії. Для газоподібних середовищ не існує пружності форми, оскільки газ здатен безперешкодно змінювати об’єм, проте газам властива об’ємна пружність – здатність опиратися змінам об’єму. Така властивість зумовлена тепловим рухом його молекул і знаходить відображення у зміні тиску p газу при зміні об’єму V. Зміна тиску газу при малій зміні його об’єму прямо пропорційна відносній об’ємній деформації, , де – модуль об’ємної пружності газу.

Пружність кристалічного твердого тіла зумовлена силами взаємного притягання та відштовхування іонів, атомів чи молекул, які утворюють дане тіло і здійснюють невпорядковані теплові коливання навколо положень рівноваги – вузлів кристалічної решітки. Сили взаємодії між частинками протидіють деформаціям кристалічної решітки. Тверді тіла мають як об’ємну пружність, так і пружність форми.

Пружність рідин також зумовлена силами міжмолекулярної взаємодії. Проте, рідини, як і гази, характеризуються лише об’ємною пружністю. Пружність форми рідини виявляють лише по відношенню до змінних деформацій надвисоких частот, період яких менше або порядку середнього часу існування молекули в певній точці простору.

Середовище, що складається з частинок, зв’язаних між собою пружними силами, є пружним середовищем. Якщо будь-яку точку середовища вивести з положення рівноваги і відпустити, то виникнуть сили, які будуть намагатись повернути її в рівноважне положення, і частинка почне здійснювати гармонічний коливний рух. Оскільки частинка зв’язана силами взаємодії з іншими частинками, то її коливання буде передаватись сусіднім частинкам, які, в свою чергу, почнуть коливатись і збурювати коливний рух відповідно своїх сусідів. Таким чином, коливання, що виникають в одній точці середовища, будуть розповсюджуватися за всіма напрямками. Пружними, або механічними, хвилями називається процес розповсюдження механічних збурень (деформацій) в пружному середовищі. Тіла або поля, які впливають на середовище і зумовлюють виникнення таких збурень, називаються джерелами хвиль. В необмеженому середовищі розповсюдження пружних хвиль полягає в залученні у вимушені коливання все більш віддалених від джерела хвиль областей середовища. При цьому можна відволіктись від дискретної (молекулярної) будови середовища, і розглядати його як суцільне середовище, яке неперервно розподілено в просторі і має певні пружні властивості. Для опису такого середовища вводять поняття частинки середовища – малого елементу його об’єму, розміри якого набагато більші міжмолекулярних відстаней, тобто в ньому міститься дуже велика кількість молекул. На практиці частинки середовища можна вважати точковими, оскільки навіть в газах міжмолекулярні відстані досить малі (порядку 10^–8 м при нормальних умовах).

Прикладом механічних хвиль є звукові, або акустичні, хвилі. Звуковими хвилями називаються пружні хвилі невеликої інтенсивності, тобто слабкі механічні збурення, що розповсюджуються в пружному середовищі. Людина відчуває звуки завдяки коливанням тиску повітря, які досягають її органів слуху. Звукові хвилі, що діють на органи слуху людини, здатні викликати звукові відчуття, якщо частоти n відповідних їм коливань знаходяться в межах 16¸2×10⁴ Гц. Пружні хвилі з частотами n < 16 Гц називаються інфразвуком, а з частотами n > 2×10⁴ Гц – ультразвуком.

При розповсюдженні пружних коливань частинки, які здійснюють коливання, не переміщуються під час коливного процесу, а коливаються навколо своїх положень рівноваги. Тобто, розповсюдження пружних хвиль не пов’язано з переносом речовини. Слід відзначити, що певний переніс речовини можливий при розповсюдженні сильних збурень, коли коливання частинок стають нелінійними. Наприклад, це має місце при розповсюдженні ударних хвиль, які утворюються при вибуху.

Пружна хвиля називається поперечною, якщо частинки середовища коливаються в площинах, перпендикулярних напрямку розповсюдження хвилі. Поперечні хвилі зумовлені деформацією зсуву середовища, і тому можуть виникати і розповсюджуватись в середовищах, яким властива пружність форми – у твердих тілах. Іншими словами, якщо при зсуві одного шару середовища по відношенню до іншого виникають пружні сили, які намагаються повернути зсунутий шар в положення рівноваги, то в середовищі можуть розповсюджуватись поперечні хвилі. Якщо ж в середовищі не виникають пружні сили при зсуві паралельних шарів один відносно одного, то поперечні хвилі виникати не можуть. Наприклад, рідини та гази є середовищами, в яких поперечні механічні хвилі не розповсюджуються.

Пружна хвиля називається поздовжною, якщо частинки середовища коливаються в напрямку розповсюдження хвилі. Поздовжні хвилі пов’язані з об’ємною деформацією середовища, тому можуть розповсюджуватись в будь-яких середовищах – газах, рідинах та твердих тілах. Тобто, якщо при деформації розтягу і стискання виникають сили пружності, то в такому середовищі здатні розповсюджуватись поздовжні хвилі.

Таким чином, можливість розповсюдження у пружному середовищі поперечних та поздовжних хвиль залежить від пружних властивостей середовища. В рідинах і газах розповсюджуються лише поздовжні хвилі. В твердих тілах поздовжні хвилі можуть існувати поруч з поперечними.

Фазова швидкість поздовжніх звукових хвиль (швидкість звуку) в рідинах або газах

,

де – модуль об’ємної пружності середовища, – густина незбуреного середовища. Процес деформації середовища при поширенні звукових хвиль можна вважати адіабатичним, тобто . Зокрема, для ідеального газу зв’язок між тиском p і об’ємом V в адіабатичному процесі є таким: , де – показник адіабати. Таким чином, , тому швидкість звуку в ідеальному газі:

,

де – молярна маса газу, – абсолютна температура, – універсальна газова стала. Це так звана “лапласова” швидкість звуку, по порядку величини вона збігається з тепловою швидкістю руху молекул в газі. Швидкість звуку в газах менша, ніж в рідинах.

Швидкість звуку в твердих тілах визначається модулями пружності речовини. Існують різні варіанти математичного запису відомого закону Гука. Відповідно використовуються різні модулі пружності. Ізотропні тверді тіла характеризуються лише двома незалежними модулями пружності.

Фазова швидкість поперечних пружних хвиль в однорідному ізотропному твердому тілі визначається модулем пружності по відношенню до деформацій зсуву, а саме:

,

де – модуль зсуву середовища, – густина середовища.

Розповсюдження поздовжніх хвиль у твердих тілах пов’язано з деформацією розтягу або стискання, тому фазова швидкість дорівнює:

,

де – модуль Юнга, - коефіцієнт Пуассона. Швидкість звуку в твердих тілах, як правило, більша, ніж в рідинах.

В обмежених твердих тілах, крім поздовжніх і поперечних хвиль, можливі і інші типи пружних хвиль. Так, уздовж вільної поверхні твердого тіла, або уздовж межі його розділу з іншим середовищем можуть розповсюджуватись специфічні хвилі – так звані поверхневі хвилі. Швидкість поверхневих хвиль менша, ніж швидкість усіх інших пружних хвиль у даному твердому тілі. Особливість поверхневих хвиль – їх швидке загасання при віддаленні від поверхні розділу. Енергія поверхневих хвиль зосереджена у тонкому шарі навколо поверхні розділу середовищ, товщина цього шару становить порядку . Поверхневі хвилі бувають двох класів: з вертикальною поляризацією і з горизонтальною поляризацією. Перший клас відповідає випадку, коли зміщення частинок при розповсюдженні хвилі відбуваються перпендикулярно до поверхні розділу. Хвилі другого класу мають зміщення частинок паралельно граничній поверхні і перпендикулярно напрямку розповсюдження хвилі. Найчастіше зустрічаються поверхневі хвилі з вертикальною поляризацією, які мають назву хвилі типу Релея. Такі хвилі розповсюджуються уздовж границі твердого тіла з вакуумом чи розрідженим газом. Хвилі типу Релея не є строго поперечними – частинки у таких хвилях рухаються по еліптичним траєкторіям, у яких велика піввісь еліпса спрямована перпендикулярно до поверхні твердого тіла, а мала піввісь спрямована вздовж напрямку розповсюдження хвилі. Поверхневі хвилі використовуються у техніці для неруйнівного контролю поверхні та у мікроелектроніці.

На вільній поверхні рідини пружні поверхневі хвилі не існують. Ті хвилі, які спостерігаються на поверхнях океанів, морів, і т.д. не є пружними. При утворенні та розповсюдженні цих хвиль основними силами, що повертають частинки речовини у стан рівноваги, є сили гравітаційного притягання до Землі та сили інерції, а не сили пружності. Такі хвилі називаються гравітаційні гідродинамічні хвилі. Слід також відзначити, що ці хвилі не є строго поперечними. Траєкторії руху частинок у гравітаційних гідродинамічних хвилях близькі до колових, причому амплітуда рухів (радіус кола) швидко зменшується із глибиною. На глибині порядку амплітуда зменшується приблизно у 500 разів у порівнянні з рухом частинок поблизу поверхні. (У деяких випадках на вільній поверхні рідини можуть виникати хвилі, у яких основними повертаючими силами є сили поверхневого натягу. Такі механічні хвилі називаються капілярними.)

В обмежених твердих тілах швидкість розповсюдження пружних хвиль може залежати від геометрії тіла. Наприклад, у довгому тонкому стержні можуть розповсюджуватись повздовжні хвилі, швидкість яких визначається лише модулем Юнга (без коефіцієнта Пуассона)

.

Ця швидкість менша, ніж швидкість поздовжніх хвиль у нескінченному середовищі, але більша, ніж швидкість поперечних хвиль. Наприклад, у плавленому кварці швидкість поздовжніх хвиль дорівнює 5970 м/с, поперечних – 3762 м/с, а швидкість поздовжніх у тонкому стержні – 5760 м/с. У алюмінієвому сплаві АМГ відповідні швидкості дорівнюють 6320, 3190 і 5200 м/с.

У деяких монокристалах спостерігається анізотропія властивостей, тобто в них швидкість розповсюдження пружних хвиль залежить від їх напрямку. Наприклад, такі властивості має монокристалічний кварц.