Закон взаємозв¢язку маси та енергії

Приріст кінетичної енергії W_k матеріальної точки дорівнює роботі, яку виконує діюча на цю точку сила F:

dW_k = dA = c² dm ,

де dm – відповідний приріст релятивістської маси частинки матеріальної точки. Звідси випливає

W_k = m₀ c² ,

де m₀ – маса спокою. Розкладаючи (1–v²/c²) ^–1/2 в ряд Маклорена, одержуємо:

W_k = m₀ c² .

При v<<c ця формула призводить до звичайного виразу кінетичної енергії в класичній механіці:

.

Збільшення кінетичної енергії тіла повинно супроводжуватися відповідним збільшенням його релятивістської маси m:

dm = dW_k .

Зміна інших видів енергії тіла також пов¢язана зі зміною його маси. Наприклад, якщо при нагріванні тіла в спокої його внутрішня енергія збільшується на dU, то маса m цього тіла, рівна його масі спокою m₀, збільшується на

dm = dm₀= dU .

У загальному випадку зміна повної енергії W тіла на dW супроводжується зміною його релятивістської маси на величину

dm = dW .

Відповідно до цього, між W і m існує універсальне співвідношення:

W = mc² = ,

яке виражає закон взаємозв¢язку маси та енергії: повна енергія тіла (або системи) дорівнює добуткові релятивістської маси цього тіла (або системи) на квадрат швидкості світла у вакуумі.

Внаслідок однорідності часу, в релятивістській механіці, як і в класичній, витримується закон збереження енергії: повна енергія замкненої системи не змінюється з часом.

Із закону взаємозв¢язку маси та енергії випливає, що закони збереження релятивістської маси і повної енергії не є незалежними законами.

Повна енергія частинки або системи частинок у стані спокою (наприклад, атомного ядра, атома, молекули, тіла), що дорівнює

W₀ = m₀ c²,

де m₀ – маса спокою, називається енергією спокою частинки або системи. Значення m₀ і W₀ не залежать від вибору інерційної системи відліку. Для безструктурної (елементарної) частинки вони є незмінними її характеристиками, подібно, наприклад, до електричного заряду та спіну частинки. Маса та енергія спокою системи частинок залежать від її складу і внутрішнього стану. Наприклад, маса спокою збудженого ядра (або атома) більша, ніж маса спокою того ж ядра (або атома) в нормальному стані.

Повна енергія частинки W та її імпульс p пов’язані співвідношеннями:

і , або .

Значення повної енергії, релятивістської маси та імпульсу даної частинки, на відміну від її маси спокою m₀, відносні, тобто відмінні в двох інерційних системах відліку К (W, m, p) і К¢ (W¢, m¢, p¢). Проте різниця квадрату повної енергії частинки, поділеної на c², і квадрату імпульсу цієї частинки, подібно до інтервалу між двома подіями, не залежить від вибору інерційної системи відліку:

.

При переході від однієї інерційної системи відліку К до іншої К¢, яка рухається зі швидкістю вздовж осі ОХ, проекції імпульсу частинки на осі координат і її повна енергія перетворюються таким чином:

,
,
,
,	.

Із закону збереження релятивістської маси та повної енергії зовсім не випливає, що маса та енергія спокою замкненої системи не можуть змінюватися. Наприклад, сума мас спокою вільних протонів і нейтронів зважди більша, ніж маса спокою утвореного з них атомного ядра.

Для характеристики систем, які мають запас міцності (наприклад, атомних ядер, атомів, молекул і т.п.), вводиться поняття енергії зв¢язку. Енергія зв¢язку системи вимірюється тією найменшою роботою, яку треба виконати, щоб розкласти систему на її складові частини (наприклад атом – на ядро та електрони). Енергія зв¢язку системи

,

де M₀ – маса спокою системи, яка складається з n частинок, а m_oi – маса спокою і-ї частинки у вільному стані. Величину

іноді називають дефектом маси системи.