Вплив обертання Землі навколо осі на рух тіл. Сила важіння та вага тіла

Система відліку, пов¢язана з Землею, неінерційна з двох причин: по-перше, внаслідок добового обертання Землі зі сталою кутовою швидкістю і, по-друге, внаслідок дії на Землю гравітаційного поля Сонця, Місяця, планет та інших астрономічних тіл. У цьому параграфі розглянемо ефекти, що пов’язані з першою з двох вищезгаданих причин.

Рівняння відносного руху матеріальної точки масою в системі відліку, пов¢язаній з Землею, має вигляд:

,

де та – відповідно відцентрова та коріолісова сила інерції, – сила тяжіння матеріальної точки до Землі, а – сума всіх інших сил, що діють на матеріальну точку.

Силою важіння тіла називається сила , прикладена до тіла і рівна геометричній сумі сили тяжіння тіла до Землі і відосередкової сили інерції , зумовленої добовим обертанням Землі (рис. 7.2):

,

тобто

.

Тут і - маси тіла та Землі відповідно, – радіус-вектор, проведений із центра Землі в місце перебування тіла, – кутова швидкість добового обертання Землі, – гравітаційна стала.

Сила важіння спричиняє падіння на Землю незакріпленого тіла і прикладена до самого тіла. Вона чисельно дорівнює силі, з якою нерухоме відносно Землі тіло тисне на горизонтальну (поземну) опору (або діє на вертикальний підвіс) внаслідок тяжіння до Землі, і може бути виміряна в Земній системі відліку, наприклад, за допомогою пружинного силоміра. Точка прикладання сили важіння тіла, тобто точка прикладання вислідної сили важіння всіх частинок тіла, називається центром ваги тіла, або центром важіння тіла. Центр ваги тіла збігається з його центром інерції.

Сила важіння тіла не залежить від швидкості його відносного руху. Вона пропорційна масі тіла і може бути подана у вигляді:

,

де – прискорення сили важіння, або прискорення вільного падіння. У кожному місці Землі вектор g однаковий для всіх тіл і змінюється зі зміною цього місця.

Сила важіння тіла збігається з силою його тяжіння до Землі тільки на полюсах останьої, оскільки там відцентрова сила інерції. Найбільша відмінність за модулем сили важіння тіла від сили його тяжіння спостерігається на екваторі, де силадосягає найбільшого значення і напрямлена в бік, протилежний напрямку сили . Та навіть на екваторі сила важіння відрізняється від сили тяжіння всього лише на 0,35%. У всіх точках земної поверхні, крім полюсів та екватора, сили і не збігаються також і за напрямком (рис. 7.2), але максимальний кут між ними не переважає 6¢.

Сила важіння зменшується з підйомом на висоту. Поблизу поверхні Землі це зменшення складає приблизно 0,034% на кожний кілометр підйому.

Прискорення g поблизу поверхні Землі змінюється від значення 9,78 м/с² на екваторі до значення 9,83 м/с² на полюсах. Це пов¢язано, по-перше, із залежністю відосередкової сили інерції від географічної широти місця і, по-друге, з некулястістю Землі, яка дещо сплюснута вздовж осі обертання і має вигляд еліпсоїда обертання (полярний і екваторіальний радіуси Землі дорівнюють відповідно 6357 км і 6378 км). Стандартне значення прискорення вільного падіння, прийняте при побудові систем одиниць і при барометричних розрахунках, дорівнює 9,80665 м/с². Вільним падінням тіла називається його рух, який відбувається під дією тільки поля тяжіння.

У неінерційній системі відліку, яка обертається разом із Землею, прискорення тіла при його вільному падінні на Землю можна знайти з рівняння руху, поклавши в ньому , і :

.

Якщо , то .

Таким чином, вектор дорівнює прискоренню тіла, що вільно падає, виміряному відносно Земної системи відліку в той момент, коли відносна швидкість тіла дорівнює нулеві. Із цієї причини вектор називають прискоренням вільного падіння.

Якщо відносна швидкість тіла, що вільно падає, , то його прискорення відносно Землі не дорівнює : . Проте при швидкостях 680 м/с значення та відрізняються менш ніж на 1%. Тому в багатьох випадках можна вважати, що для спостерігача на Землі вільне падіння тіла спричиняється дією тільки сили важіння цього тіла, яка надає йому прискорення . Відповідно дію на таке тіло коріолісової сили інерції можна розглядати як порівняно мале збурення. Так, наприклад, під впливом коріолісової сили тіло, яке вільно падає, відхиляється на схід від напрямку підвісу, тобто від напрямку вектора . Цей відхил для тіла, яке вільно падає без початкової швидкості з висоти , на широті дорівнює

.

Наприклад, якщо 160 м і 45°, то 1,55 см.

Вагою тіла називається сила , з якою воно діє внаслідок тяжіння до Землі на опору чи підвіс, які утримують його від вільного падіння. При цьому покладається, що тіло та опора (підвіс) зберігають стан спокою відносно системи відліку, в якій визначається вага тіла. З боку опори чи підвісу на тіло діє сила . Із основного рівняння динаміки відносного руху, де і , випливає, що

.

Тут – сила гравітаційного притягання тіла до Землі, а – переносна сила інерції, зумовлена неінерційністю системи відліку.

Приклад 1. Вага тіла в системі відліку, пов¢язаній із Землею, дорівнює силі важіння тіла:

.

Приклад 2. Вага тіла в системі відліку, пов¢язаній із ліфтом, який рухається відносно Землі поступально з прискоренням a₀ ,

.

Якщо ліфт вільно падає, то – прискорення вільного падіння, і вага тіла в ліфті Q= 0, тобто тіло перебуває в стані невагомості.

Невагомістю називається такий стан механічної системи, при якому діюче на неї гравітаційне поле не зумовлює взаємного тиску частин системи одна на іншу та їх деформації. Такий стан реалізується в механічній системі, яка задовольняє такі три умови: а) на систему не діють ніякі інші зовнішні сили, крім сил поля тяжіння; б) розміри системи такі, що в її межах зовнішнє гравітаційне поле можна вважати однорідним; в) система рухається поступально. Стан невагомості характерний, наприклад, для тіл, які знаходяться в космічному кораблі, оскільки під час проходження основної частини траєкторії корабля в поля тяжіння його двигун вимкнений.