Приклад 3. Момент інерції кулі відносно осі, що проходить через її центр.

У цьому випадку доцільно застосувати сферичну систему координат (рис.1.3). Спрямуємо вісь OZ уздовж осі обертання. Елемент об’єма має масу (тут - маса і радіус кулі). Як видно з рис.1.3, елемент розташований на відстані від осі. Аналогічно попереднім прикладам, момент інерції кулі отримаємо інтегруванням

(Примітка: при інтегруванні застосуйте формулу ).

Моменти інерції однорідних тіл найпростішої форми відносно деяких осей наведено у таблиці 4.1.

Таблиця 4.1

Момент інерції тіла, як і його маса, характеризують інертність тіла. Але, на відміну від маси, момент інерції не є характеристикою тіла як такого. Значення моменту інерції залежить не тільки від маси, форми і розмірів тіла, але і від вибору положення осі відносно тіла. Одне і те ж тіло відносно різних осей має різні значення моменту інерції. Іншими словами, не можна казати: “Момент інерції Землі дорівнює приблизно 9.7·10³⁷ кг м²“, у той час як вислів “маса Землі приблизно дорівнює 6·10²⁴ кг” цілком правильний. (До речі, сучасні дані свідчать, що момент інерції Землі відносно власної осі обертання не відповідає значенню, яке можна отримати за вищенаведеною формулою для однорідної кулі, . Відомо, що цей момент інерції помітно менший, ніж очікується за розрахунками, а саме дорівнює близько . Ця обставина вказує на те, що густина Землі суттєво збільшується з глибиною.)

Згідно з теоремою Штейнера (теоремою про перенесення осей інерції), момент інерції тіла відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції цього тіла відносно осі, яка проходить через центр інерції тіла паралельно (!) розглядуваній осі, і добутку маси тіла m на квадрат відстані між осями:

.

Наприклад, повернемось до рис.4.3 і розрахуємо момент інерції стержня відносно осі, що проходить через його центр мас перпендикулярно до стержня. Очевидно, центр мас знаходиться посередині стержня, тобто . Застосуємо теорему Штейнера, і отримаємо:

.