Момент інерції

Моментом інерції матеріальної точки маси відносно нерухомої осі називається добуток її маси на квадрат відстані до осі,

.

Як буде показано пізніше, не просто маса, а саме такий добуток характеризує інертність розглядуваної матеріальної точки у випадку обертального руху навколо осі.

Моментом інерції механічної системи відносно нерухомої осі а називається фізична величина , що дорівнює сумі добутків мас усіх n матеріальних точок на квадрати їх відстаней до осі:

,

де – маса і-ї точки та її відстань від осі відповідно.

Момент інерції тіла відносно нерухомої осі

,

де – маса малого елемента об’єму тіла , – густина, а r – відстань від елементу до осі а. Якщо тіло однорідне, тобто його густина скрізь однакова, то

.

(Примітка. Зовсім не обов’язково, щоб вісь проходила крізь тіло. Вісь може бути розташована довільно.) Момент інерції тіла I_a є мірою інертності тіла в обертальному русі навколо нерухомої осі а, подібно до того, як маса тіла є його мірою інертності в поступальному русі.

Приклад 1. Момент інерції тонкого стержнявідносно осі, що проходить через кінець стержня перпендикулярно до нього. Розглянемо нескінченно малий елемент довжиною , розташований на відстані від осі (рис.4.3). Маса цього елемента дорівнює , де - маса і довжина стержня відповідно. За означенням, момент інерції елемента дорівнює . Тоді момент інерції стержня отримаємо інтегруванням

.