Закон збереження механічної енергії

Механічною енергією, або повною механічною енергією, називається енергія механічного руху та взаємодії. Механічна енергія системи матеріальних точок дорівнює сумі їх кінетичної енергії і потенціальної енергії взаємодії цих точок одна з іншою та з зовнішніми тілами:

.

Елементарний приріст механічної енергії системи за малий проміжок часу

,

де – алгебраїчна сума елементарних робіт, виконуваних за час усіма діючими на систему внутрішніми та зовнішніми непотенціальними силами. Доданок являє собою зміну за час потенціальної енергії системи і відповідно її повної механічної енергії, зумовлену нестаціонарністю зовнішніх потенціальних сил.

Якщо на систему матеріальних точок діють лише консервативні сили, то і . Відповідно, повна механічна енергія такої системи зберігається , тобто справедливим є закон, який називається законом збереження механічної енергії: при русі системи матеріальних точок, на які діють лише консервативні (і гіроскопічні) сили, її механічна енергія не змінюється.

Зокрема, цей закон справедливий для замкнених консервативних систем: механічна енергія замкненої системи не змінюється з часом, якщо всі внутрішні сили, які діють у цій системі, потенціальні або не виконують роботи.

Закон збереження механічної енергії пов¢язаний із однорідністю часу. Ця властивість часу проявляється в тому, що закони руху замкненої системи (або системи, що знаходиться в стаціонарному зовнішньому полі) не залежать від вибору початку відліку часу. Наприклад, при вільному падінні тіла в стаціонарному потенціальному полі сили тяжіння біля поверхні Землі, швидкість тіла і пройдений ним шлях залежать лише від тривалості вільного падіння тіла і від початкової швидкості, а не від того, в який конкретно момент часу тіло почало падати.

Механічна енергія замкненої неконсервативної системи змінюється за рахунок роботи, виконуваної всіма непотенціальними внутрішніми силами . Гіроскопічні сили роботи не виконують і внеску в не дають, тобто існування таких сил в системі не призводить до зміни її механічної енергії.

Дія дисипативних сил – наприклад, сил тертя – призводить до поступового зменшення механічної енергії замкненої системи. Цей процес називається дисипацією енергії. Відповідно система, механічна енергія якої неперервно зменшується з часом, називається дисипативною системою. При дисипації енергії відбувається перетворення механічної енергії системи в інші види енергії (наприклад, в енергію безладного руху молекул).

Перетворення механічної енергії здійснюється у повній відповідності до загального закону природи – закону збереження енергії. Згідно з цим законом, енергія може переходити з однієї форми в іншу і перерозподілятися всередині системи, але її загальна кількість у замкненій системі повинна залишатися постійною. Із закону збереження та перетворення енергії випливає, що зміна енергії незамкненої системи, що відбувається при взаємодії системи з зовнішнім середовищем (зовнішніми тілами та полями), повинна бути чисельно рівною і протилежною за знаком зміні енергії зовнішнього середовища. Іншими словами, зміна енергії системи при її взаємодії з зовнішнім середовищем повинна дорівнювати тій енергії, яку система отримує ззовні.

У всіх реальних механічних системах діють сили опору і тертя, внаслідок чого всі ці системи неконсервативні. Проте в деяких випадках їх можна наближено вважати консервативними і застосовувати до них закон збереження механічної енергії. Такий підхід можливий, якщо в розглядуваному процесі робота всіх непотенціальних сил, які діють на систему, нехтовно мала порівняно з механічною енергією системи , тобто , так що , де – зміна механічної енергії системи.

Станом механічної рівноваги системи називається такий стан, із якого вона може бути виведена тільки в результаті зовнішньої силової дії. У цьому стані всі матеріальні точки системи перебувають у спокої, так що кінетична енергія системи дорівнює нулю. Стан механічної рівноваги називають стійким, якщо малий зовнішній вплив на систему спричиняє малу зміну її стану. При цьому в системі виникають сили, які прагнуть повернути систему в стан рівноваги. Стан механічної рівноваги називають нестійким, якщо система при як завгодно малому зовнішньому впливові виходить із цього стану і більше не повертається в нього. При цьому виникають сили, які спричиняють подальше відхиляння системи від стану рівноваги.

Закон збереження механічної енергії дозволяє вказати умови рівноваги консервативних систем: у станах стійкої рівноваги потенціальна енергія системи має мінімуми, а в станах нестійкої рівноваги – максимуми.

На основі закону збереження механічної енергії можна з¢ясувати, якою є область можливих конфігурацій консервативної системи. Кінетична енергія системи . Тому при заданому значенні механічної енергії системи остання може знаходитися тільки в таких станах, які задовольняють умову: . Рис. 3.5 відповідає найпростішому випадку, коли матеріальна точка здійснює одновимірний рух уздовж осі ОХ у зовнішньому стаціонарному полі. Потенціальна енергія точки є функцією лише одної координати х, тобто . Графік цієї залежності, показаний на рис.3.5, називається потенціальною кривою. При фіксованому значенні механічної енергії матеріальної точки, показаному на рис. 3.5, точка може рухатися, залишаючись в одній із таких трьох областей: (область І), (область ІІІ), (область V). Вони відділені одна від іншої областями ІІ і ІV так званих потенціальних бар¢єрів aeb і cgd, у межах яких матеріальна точка знаходитися не може. На межах потенціальних бар¢єрів (у точках a, b, c, і d) матеріальна точка змінює напрямок свого руху на протилежний, причому в області І точка може необмежено віддалятися ліворуч від межі бар¢єру, а в області V – праворуч від межі a бар¢єру. В області ІІІ матеріальна точка коливається між точками b і c – вона знаходиться в так званій потенціальній ямі bfc.

Приклад застосування законів збереження енергії і імпульса.

Розглянемо один з варіантів так званого балістичного маятника (рис.3.6). Тіло маси підвішене на двох однакових нитках довжиною . Куля маси летіла горизонтально, потрапила у тіло і застрягла в ньому. У результаті нитки відхилились на максимальний кут , який легко можна виміряти на експерименті. Розглянемо, як за результатами вимірювання кута можна визначити швидкість кулі . Для спрощення формул одразу припустимо, що . Нехай куля і тіло у даній задачі утворюють механічну систему, до якої ми спробуємо застосувати закони збереження імпульсу і енергії. Запишемо імпульс і механічну енергію системи у три такі моменти часу: - момент безпосередньо перед ударом кулі, - момент безпосередньо після удару кулі, коли куля вже застрягла, але масивне тіло ще не встигло відхилитись від положення рівноваги, - момент максимального відхилення тіла від положення рівноваги. У цій задачі ми будемо розглядати лише горизонтальну складову імпульса системи.

У момент імпульс системи (сума імпульсів кулі і тіла) і механічна енергія системи дорівнюють

, .

При цьому потенціальна енергія кулі і тіла у полі тяжіння до Землі до співудару вважається такою, що дорівнює нулю.

У момент тіло із застряглою кулею отримало імпульс і почало рухатися з якоюсь швидкістю . Тоді імпульс і енергія у цей момент дорівнюють

, .

У момент максимального відхилення тіло зупиняється

, .

Строго кажучи, розглядувана система не є замкненою. На неї діють зовнішні сили – сили тяжіння до Землі і сили реакції підвісу. Але, незважаючи на це, ми зможемо застосувати закони збереження енергії та імпульса. Дійсно, на етапі зовнішні сили спрямовані вертикально і не впливають на розглядувану горизонтальну складову імпульсу. Отже, можна записати

, або .

Що стосується енергії, то на проміжку під час гальмування кулі всередині тіла відбувається перетворення частини кінетичної енергії кулі в інші форми енергії, наприклад, у теплову. Отже, .

На відрізку зовнішні сили реакції підвісу змінюються, у них з’являється горизонтальна складова, отже на цьому відрізку імпульс системи не зберігається, тобто . Тут відбувається перетворення кінетичної енергії системи у потенціальну, отже

, або

З отриманих співвідношень шляхом нескладних алгебраїчних перетворень можна отримати шукану величину . З геометричних міркувань очевидно

.

Тоді отримаємо

.