Момент сили і момент імпульсу

Для характеристики зовнішньої механічної дії, яка призводить до зміни обертального руху тіла, вводять поняття моменту сили. Слід розрізняти момент сили відносно нерухомої точки і відносно нерухомої осі.

Моментом сили відносно нерухомої точки О (полюса) називається векторна величина , що дорівнює векторному добуткові радіуса-вектора , проведеного з точки О в точку А прикладання сили (рис. 4.1), на вектор сили :

.

Вектор моменту сили перпендикулярний площині, в якій знаходяться радіус-вектор і вектор сили. Модуль моменту сили , де – кут між векторами і , а – довжина перпендикуляра ОВ (рис. 4.1), який проведено з точки О до лінії дії сили. Величина l називається плечем сили відносно точки О. При перенесенні точки прикладання сили вздовж лінії її дії момент цієї сили відносно одної й тої ж нерухомої точки О не змінюється. Якщо лінія дії сили проходить через точку О, то момент сили відносно цієї точки дорівнює нулеві.

Головним моментом системи сил відносно нерухомої точки О (полюса) називається вектор , рівний геометричній сумі моментів відносно точки О всіх n сил системи:

,

де – радіус-вектор, проведений із полюса О в точку прикладання сили .

Із третього закону Ньютона випливає, що моменти відносно полюса О внутрішніх сил взаємодії матеріальних точок системи попарно компенсуються: . Отже, при обчисленні головного моменту сил слід враховувати тільки зовнішні сили, що діють на розглядувану механічну систему.

Моментом сили відносно нерухомої осі а називається скалярна величина , рівна проекції на цю вісь вектора моменту сили відносно довільної точки О осі а. Значення моменту не залежить від вибору положення точки О осі а.

(Примітка. Іноді під моментом сили відносно нерухомої осі а розуміють векторну величину , де – орт осі а. Вектор – складова вектора моменту сили відносно полюса О, спрямована вздовж осі а.)

Якщо лінія дії сили перетинає вісь або паралельна їй, то момент сили відносно цієї осі дорівнює нулю.

Нехай А – точка прикладання сили , а O₁ – основа перпендикуляра, опущеного з точки А на оглядувану вісь OZ (рис. 4.2). Силу зручно розкласти на три взаємно перпендикулярні складові: осьову - паралельну (сулежну) осі, радіальну - напрямлену вздовж вектора , і дотичну - спрямовану перпендикулярно до осі і до вектора . Момент сили відносно осі OZ

.

Оскільки вектори і взаємно перпендикулярні, то

.

Головний момент системи сил відносно нерухомої осі дорівнює алгебраїчній сумі моментів відносно цієї осі всіх сил системи.

Моментом імпульсу (моментом кількості руху) матеріальної точки відносно нерухомої точки О (полюса) називається вектор , що дорівнює векторному добуткові радіуса-вектора , проведеного з полюса О в місце перебування матеріальної точки, на вектор її імпульсу:

,

де – маса і швидкість матеріальної точки.

Моментом імпульсу системи матеріальних точок або частин твердого тіла відносно нерухомої точки О називається геометрична сума моментів імпульсу відносно тієї ж точки О всіх матеріальних точок системи:

,

де – відповідно маса, радіус-вектор і швидкість і-ї матеріальної точки, а n – загальне число цих точок у системі.

Моментом імпульсу системи відносно нерухомої осі а називається величина , що дорівнює проекції на цю вісь вектора моменту імпульсу системи відносно якої-небудь точки О, яка належить цій осі:

.

Вибір положення точки О на осі а не впливає на числове значення .

(Примітка. Іноді під моментом імпульсу системи відносно нерухомої осі а розуміють векторну величину , де – орт осі а. )

Момент імпульсу системи відносно нерухомої точки О, навколо якої це тіло обертається з кутовою швидкістю , дорівнює:

,

де – радіус-вектор, проведений із точки О в малий елемент тіла масою , а – швидкість цього елемента тіла. Оскільки , вектори і в загальному випадку не збігаються за напрямком:

.

Момент імпульсу тіла, закріпленого в точці О, і його кутова швидкість збігаються за напрямком, якщо тіло обертається навколо однієї з його головних осей інерції

,

де – момент інерції тіла відносно цієї головної осі.

Значення і головного моменту системи сил відносно двох різних нерухомих точок О та О* пов’язані співвідношенням:

,

де – радіус-вектор, проведений із початку О в точку О*, а – головний вектор розглядуваної системи сил. Якщо , то головний момент системи сил однаковий відносно будь-якої нерухомої точки: . Саме таку властивість має пара сил, тобто система з двох сил, які чисельно дорівнюють одна одній і спрямовані вздовж паралельних прямих у протилежні сторони. Найкоротша відстань між лініями дії сил пари називається плечем пари. Момент пари сил напрямлений перпендикулярно до площини, в якій лежать сили, а його модуль дорівнює , де – модуль кожної з сил пари.

Головний момент відносно центра інерції С механічної системи всіх діючих на нього сил пов’язаний з головним моментом цієї ж системи сил відносно нерухомої точки О співвідношенням:

,

де – радіус-вектор, проведений із початку О в точку С, – головний вектор системи сил.

Значення моменту імпульсу механічної системи відносно її центра інерції С для абсолютного руху точок зі швидкостями (тобто відносно нерухомої інерційної системи відліку) і для їх відносного руху зі швидкостями (тобто відносно системи відліку з початком у точці С, що рухається поступально) однакові:

,

де – радіус-вектор і-ї точки в системі відліку, що рухається разом із центром інерції.

Зв’язок між значеннями моменту імпульсу механічної системи відносно нерухомої точки О і відносно центра інерції має вигляд:

,

де – імпульс системи в його абсолютному русі.