Основний закон динаміки обертального руху

4.3.1. Розглянемо рух матеріальної точки маси під дією сили . Нехай точка має імпульс . Радіус-вектор точки позначимо . Із закона Ньютона випливає, що . Домножимо це рівняння векторно на вектор . Отримаємо

, ,

або, з урахуванням означень моментів імпульсу і сили,

.

Останнє рівняння має назву рівняння моментів, воно є найголовнішим рівнянням у динаміці обертального руху матеріальної точки.

Особливо простий вигляд приймає рівняння моментів у випадку, коли матеріальна точка рухається по колу, тобто коли радіус-вектор не змінює своєї довжини і дорівнює радіусу обертання. Візьмемо означення і підставимо в нього відомий вираз з кінематики обертального руху . Отримаємо . У цьому виразі другий доданок дорівнює нулю, оскільки скалярний добуток взаємно перпендикулярних векторів . Отже , або

,

де - момент інерції точки відносно розглядуваної осі обертання.Тоді рівняння моментів набуває вигляду

,

де - кутове прискорення.

4.3.2. Тепер розглянемо рух системи матеріальних точок. Запишемо закон Ньютона (рівняння руху) для кожної з n точок системи

де - внутрішні сили. Кожне з отриманих рівнянь домножимо векторно на відповідний радіус-вектор точки і додамо ліві і праві частини системи рівнянь. При цьому доданки, що містять внутрішні сили, взаємно скоротяться, і ми отримаємо, що перша похідна за часом t від моменту імпульсу механічної системи відносно будь-якої нерухомої точки О дорівнює головному моментові відносно тієї ж точки О всіх зовнішніх сил, прикладених до системи:

.

Отримане рівняння – рівняння моментів - виражає закон зміни моменту імпульсу механічної системи. Як бачимо, рівняння моментів для системи точок виглядає аналогічно рівнянню моментів для однієї точки. Воно справедливе також для твердого тіла, яке шарнірно закріплене в точці О і обертається навколо неї. У такому випадку це рівняння виражає основний закон динаміки твердого тіла, що обертається навколо нерухомої точки.

У проекціях на осі нерухомої прямокутної декартової системи координат із початком у точці О закон зміни моменту імпульсу системи записується у вигляді:

, , .

Тут – моменти імпульсу системи і головні моменти зовнішніх сил відносно відповідних осей координат.

Якщо тверде тіло обертається навколо нерухомої осі OZ з кутовою швидкістю , то його момент імпульсу відносно цієї осі

і .

Тут – момент інерції тіла відносно осі OZ, який не змінюється з часом. Основний закон динаміки (силоруху) твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої осі OZ:

або .

Із останньої формули видно, що момент інерції твердого тіла відносно якоїсь нерухомої осі є мірою інертності цього тіла в обертанні навколо цієї осі: чим більший момент інерції тіла, тим меншого кутового прискорення воно набуває під дією одного й того ж моменту зовнішніх сил.

4.3.3. Коли матеріальна точка обертається навколо осі з кутовою швидкістю , вона має кінетичну енергію, яку можна розрахувати як

.

Аналогічно, кінетична енергія твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі OZ з кутовою швидкістю ,

.

Кінетична енергія твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої точки з кутовою швидкістю :

,

де I – момент інерції тіла відносно миттєвої осі обертання.

4.3.4. Елементарна робота, виконувана за малий проміжок часу силою , прикладеною до тіла, яке обертається навколо фіксованої осі, дорівнює

,

де – момент сили відносно осі обертання OZ (орт осі OZ збігається за напрямком з вектором ).

Приріст кінетичної енергії твердого тіла за час дорівнює роботі зовнішніх сил:

,

де – головний момент зовнішніх сил відносно осі обертання тіла.

4.3.5. Елементарна робота, виконувана за малий проміжок часу силою , яка діє на тіло, дорівнює

,

де – момент сили відносно точки О ( – радіус-вектор, проведений із О в точку прикладання сили ), і – відповідно кут повороту і вектор елементарного повороту тіла за час , а – момент сили відносно миттєвої осі обертання тіла, рівний проекції вектора на напрямок вектора .

Приріст кінетичної енергії твердого тіла за час dt дорівнює роботі зовнішніх сил:

,

де – головний момент зовнішніх сил відносно миттєвої осі обертання тіла.

4.3.6. Таким чином, рух вільного твердого тіла задовольняє такі два диференціальні (відоймові) рівняння:

,

.

Тут – маса тіла, – швидкість його центра інерції С, – головний вектор зовнішніх сил, прикладених до тіла, – головний момент зовнішніх відносно точки С сил, а – момент імпульсу тіла відносно тієї ж точки С. Перше рівняння описує поступальний рух вільного тіла зі швидкістю його центра інерції. Друге рівняння випливає з закону зміни моменту імпульсу і описує обертання твердого тіла навколо його центра інерції.

Кінетична енергія вільного тіла може бути знайдена на основі теореми Кеніга:

,

де – момент інерції тіла відносно миттєвої осі обертання, яка проходить через його центр інерції С, – кутова швидкість тіла. У загальному випадку миттєва вісь переміщується в тілі і момент інерції змінюється з часом. Величина залишається сталою, якщо рух тіла є плоским.

Приклад. Кінетична енергія однорідного кругового циліндра, який скочується з похилої площини без просковзування. Рух циліндра – плоский: усі його точки рухаються в паралельних (сулежних) вертикальних площинах. Циліндр рухається поступально зі швидкістю , спрямованою вздовж похилої площини, і обертається навколо своєї осі ( , де – відповідно маса та радіус циліндра) з кутовою швидкістю . Із умови відсутності просковзування випливає, що миттєві швидкості точок торкання циліндра об похилу площину дорівнюють нулеві, тобто . Тому кінетична енергія скочуваного циліндра

.