Перетворення Галілея. Механічний принцип відносності

Перетвореннями Галілея називаються перетворення координат і часу, які застосовуються в ньютонівській механіці при переході від однієї інерційної системи відліку до іншої , яка рухається відносно К поступально зі сталою швидкістю . Перетворення Галілея спираються на аксіоми про абсолютність проміжков часу і довжин. Перша аксіома стверджує, що хід часу (відповідно проміжок часу між якими-небудь двома подіями) однаковий у всіх інерційних системах відліку. Відповідно до другої аксіоми, розміри тіла не залежать від швидкості його руху відносно системи відліку.

Якщо відповідні осі декартових координат інерційних систем відліку і проведені попарно паралельно одна одній і якщо в початковий момент часу ( ) початки координат та збігаються (рис. 2.2), то перетворення Галілея мають вигляд

, ,

і ,

або

і ,

де і – координати точки М у системах відліку і , і – радіуси-вектори точки М у тих же системах віділіку, а – проекції швидкості системи на осі координат системи .

Зазвичай осі координат проводять так, що система рухається вздовж додатного напрямку осі ОХ (рис. 2.3). У цьому випадку перетворення Галілея мають найпростіший вигляд:

, , , .

Із перетворень Галілея випливає такий закон перетворення швидкості довільної точки М (рис. 2.2) при переході від однієї інерційної системи відліку (швидкість точки ) до іншої (швидкість тієї ж точки ):

.

Подібним чином перетворюються і проекції швидкості на відповідні осі координат:

, , .

Зокрема, при русі системи К¢ вздовж додатного напрямку осі ОХ (рис. 2.3)

, , .

Прискорення точки М у системах відліку ( ) і ( ) однакові: .

Отже, прискорення матеріальної точки не залежить від вибору інерційної системи відліку – тобто воно інваріантне відносно перетворень Галілея.

Сили взаємодії матеріальних точок залежать лише від їх взаємного розташування і від швидкості руху однієї відносно іншої. Взаємне розташування деяких точок 2 і 1 характеризується вектором, що дорівнює різниці радіусів-векторів цих точок, тобто в системі вектором , а в системі – вектором . Із перетворень Галілея випливає, що . Тому відстані між точками 1 і 2 в системах і однакові: або

.

Швидкість руху точки 2 відносно точки 1 дорівнює різниці швидкостей цих точок: (у системі ) і (у системі ). Із перетворень Галілея випливає, що . Отже, взаємне розташування і швидкість відносного руху будь-яких двох матеріальних точок не залежить від вибору інерційної системи відліку: вони інваріантні відносно перетворень Галілея. Відповідно інваріантні відносно перетворень Галілея і сили, які діють на матеріальну точку: .

Рівняння, які виражають закони Ньютона, інваріантні відносно перетворень Галілея, тобто не змінюють свого вигляду при перетворенні координат і часу однієї інерційної системи відліку ( ) на іншу ( ):

(в системі ),

(в системі ),

де – маса розглядуваної матеріальної точки, однакова у всіх системах відліку.

Таким чином, у класичній механіці справедливим є механічний принцип відносності (принцип відносності Галілея): закони механіки однакові в усіх інерційних системах відліку. Це означає, що в різних інерційних системах відліку всі механічні процеси за одних і тих же умов відбуваються однаково. Отже, за допомогою будь-яких механічних експериментів, проведених у замкненій механічній системі тіл, неможливо встановити, перебуває ця система в стані спокою чи рухається рівномірно і прямолінійно (відносно якої-небудь інерційної системи відліку).

Механічний принцип відносності свідчить про те, що в механіці всі інерційні системи відліку цілковито рівноправні. Серед них неможливо вказати якусь особливу, “головну” інерційну систему відліку, рух тіл відносно якої можна було б розглядати як “абсолютний рух”.

Узагальнення принципу відносності щодо всіх фізичних явищ було здійснено А.Ейнштейном у спеціальній теорії відносності. При цьому з¢ясувалося, що координати і час у різних інерційних системах відліку пов¢язані перетвореннями Лоренца, а не Галілея. Проте при малих швидкостях відносного руху систем відліку (порівняно зі швидкістю світла у вакуумі) перетворення Лоренца переходять у перетворення Галілея.